Theorem gsumsnf 19939

Description: Group sum of a singleton, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnf.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶
gsumsnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnf.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsnf	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
5		gsumsnf.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
7		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐺 ∈ Mnd
8		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑀 ∈ 𝑉
9		gsumsnf.c	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
10	9	nfel1 2916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐵
11	7, 8, 10	nf3an 1901	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 6, 11, 9	gsumsnfd 19937	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2884  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mulg 19056  df-cntz 19305

This theorem is referenced by:  gsumsn  19940