Theorem gsumsnf 19899

Description: Group sum of a singleton, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnf.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶
gsumsnf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnf.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsnf	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
3		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
5		gsumsnf.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
7		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐺 ∈ Mnd
8		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑀 ∈ 𝑉
9		gsumsnf.c	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
10	9	nfel1 2916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐵
11	7, 8, 10	nf3an 1903	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 6, 11, 9	gsumsnfd 19897	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   Σ_g cgsu 17374  Mndcmnd 18673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mulg 19015  df-cntz 19263

This theorem is referenced by:  gsumsn  19900