Theorem gsumsnd 19964

Description: Group sum of a singleton, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsnd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		gsumsnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		gsumsnd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
5		gsumsnd.s	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
6		nfv 1924	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfcv 2914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	gsumsnfd 19963	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {csn 4572   ↦ cmpt 5171  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217   Σ_g cgsu 17441  Mndcmnd 18740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-hash 14330  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mulg 19082  df-cntz 19329

This theorem is referenced by:  gsumzunsnd  19968  gsumdifsnd  19973  telgsumfzslem  20000  telgsumfzs  20001  gsumle  20157  freshmansdream  21595  mat1mhm  22513  pmatcollpw3fi1lem1  22815  cpmadugsumlemF  22905  gsummptfzsplitra  33188  gsummptfzsplitla  33189  gsumtp  33194  elrspunsn  33561  0mplrim  33755  extdg1id  33907