Theorem gsumsnd 20021

Description: Group sum of a singleton, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsnd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		gsumsnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		gsumsnd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
5		gsumsnd.s	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
6		nfv 1941	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfcv 2931	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	gsumsnfd 20020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mulg 19133  df-cntz 19386

This theorem is referenced by:  gsumzunsnd  20025  gsumdifsnd  20030  telgsumfzslem  20057  telgsumfzs  20058  gsumle  20214  freshmansdream  21692  mat1mhm  22609  pmatcollpw3fi1lem1  22911  cpmadugsumlemF  23001  gsummptfzsplitra  33318  gsummptfzsplitla  33319  gsumtp  33324  elrspunsn  33680  0mplrim  33848  extdg1id  34000