Theorem gsumsnd 19907

Description: Group sum of a singleton, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsnd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnd.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsnd.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		gsumsnd.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
4		gsumsnd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
5		gsumsnd.s	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
6		nfv 1910	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	gsumsnfd 19906	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180   Σ_g cgsu 17422  Mndcmnd 18694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mulg 19024  df-cntz 19268

This theorem is referenced by:  gsumzunsnd  19911  gsumdifsnd  19916  telgsumfzslem  19943  telgsumfzs  19944  freshmansdream  21508  mat1mhm  22399  pmatcollpw3fi1lem1  22701  cpmadugsumlemF  22791  gsumle  32817  elrspunsn  33158  extdg1id  33355