Theorem gsumsn 19920

Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsn.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
gsumsn	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem gsumsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
2		gsumsn.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		gsumsn.s	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
4	1, 2, 3	gsumsnf 19919	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mulg 19035  df-cntz 19283

This theorem is referenced by:  gsumpr  19921  gsumpt  19928  dpjidcl  20026  gsumle  20111  srgbinomlem3  20200  srgbinomlem4  20201  srgbinom  20203  islindf4  21828  psrlidm  21950  psrridm  21951  mplmonmul  22024  ply1coe  22273  mat1dimmul  22451  mdet0pr  22567  m1detdiag  22572  mdetdiaglem  22573  mdetrlin  22577  mdetrsca  22578  m2detleib  22606  chfacfscmulgsum  22835  chfacfpmmulgsum  22839  tmdgsum  24070  tsmsxplem1  24128  tsmsxplem2  24129  imasdsf1olem  24348  tdeglem4  26035  tdeglem2  26036  amgm  26968  wilthlem2  27046  psrmonmul  33709  signstf0  34728  aks6d1c1  42569  evlsbagval  43016  selvvvval  43032  sge0tsms  46826  lincvalsng  48904  snlindsntor  48959