Theorem hashf2 34261

Description: Lemma for hasheuni 34262. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
hashf2	⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem hashf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14273	. 2 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		nn0z 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		zre 12504	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		rexr 11190	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		nn0ge0 12438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
7		elxrge0 13385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
8	5, 6, 7	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
9	8	ssriv 3939	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ (0[,]+∞)
10		0xr 11191	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11		pnfxr 11198	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12		0lepnf 13059	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
13		ubicc2 13393	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
15		snssi 4766	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ (0[,]+∞) → {+∞} ⊆ (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ (0[,]+∞)
17	9, 16	unssi 4145	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ (0[,]+∞)
18		fss 6686	. 2 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ (0[,]+∞)) → ♯:V⟶(0[,]+∞))
19	1, 17, 18	mp2an 693	1 ⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  [,]cicc 13276  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-icc 13280  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  hasheuni  34262  cntmeas  34403