Theorem hashf2 34342

Description: Lemma for hasheuni 34343. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
hashf2	⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem hashf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14345	. 2 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		nn0z 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		zre 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		rexr 11222	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		nn0ge0 12500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
7		elxrge0 13455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
8	5, 6, 7	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
9	8	ssriv 3938	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ (0[,]+∞)
10		0xr 11223	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11		pnfxr 11230	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12		0lepnf 13129	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
13		ubicc2 13463	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1481	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
15		snssi 4741	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ (0[,]+∞) → {+∞} ⊆ (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ (0[,]+∞)
17	9, 16	unssi 4141	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ (0[,]+∞)
18		fss 6703	. 2 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ (0[,]+∞)) → ♯:V⟶(0[,]+∞))
19	1, 17, 18	mp2an 702	1 ⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4579   class class class wbr 5097  ⟶wf 6512  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  [,]cicc 13346  ♯chash 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-icc 13350  df-hash 14338

This theorem is referenced by:  hasheuni  34343  cntmeas  34484