Theorem hashf2 33917

Description: Lemma for hasheuni 33918. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
hashf2	⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)

Proof of Theorem hashf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 14355	. 2 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2		nn0z 12635	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
3		zre 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		rexr 11310	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℝ*)
6		nn0ge0 12549	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑥)
7		elxrge0 13488	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
8	5, 6, 7	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
9	8	ssriv 3983	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ (0[,]+∞)
10		0xr 11311	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11		pnfxr 11318	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12		0lepnf 13166	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
13		ubicc2 13496	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
15		snssi 4817	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ (0[,]+∞) → {+∞} ⊆ (0[,]+∞))
16	14, 15	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {+∞} ⊆ (0[,]+∞)
17	9, 16	unssi 4186	. 2 ⊢ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ (0[,]+∞)
18		fss 6744	. 2 ⊢ ((♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ∧ (ℕ0 ∪ {+∞}) ⊆ (0[,]+∞)) → ♯:V⟶(0[,]+∞))
19	1, 17, 18	mp2an 690	1 ⊢ ♯:V⟶(0[,]+∞)

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  ⟶wf 6550  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  +∞cpnf 11295  ℝ^*cxr 11297   ≤ cle 11299  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12610  [,]cicc 13381  ♯chash 14347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-icc 13385  df-hash 14348

This theorem is referenced by:  hasheuni  33918  cntmeas  34059