Theorem idlsrgmulrval 33592

Description: Value of the ring multiplication for the ideals of a ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrval.4	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulrval.5	⊢ · = (LSSum‘𝐺)
idlsrgmulrval.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
idlsrgmulrval.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrval.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Proof of Theorem idlsrgmulrval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
2		idlsrgmulrval.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		idlsrgmulrval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
4		idlsrgmulrval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrgmulrval.4	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		idlsrgmulrval.5	. . . . 5 ⊢ · = (LSSum‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	idlsrgmulr 33590	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
9	1, 8	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊗ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))))
10		oveq12 7367	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
12	11	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
13		idlsrgmulrval.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
14		idlsrgmulrval.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
15		fvexd 6849	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)) ∈ V)
16	9, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7510	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ._rcmulr 17180  LSSumclsm 19565  mulGrpcmgp 20077  LIdealclidl 21163  RSpancrsp 21164  IDLsrgcidlsrg 33583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-tset 17198  df-ple 17199  df-idlsrg 33584

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrcl  33593  idlsrgmulrss1  33594  idlsrgmulrss2  33595  zarclsun  34029