Theorem idlsrgmulrval 34108

Description: Value of the ring multiplication for the ideals of a ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrval.4	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulrval.5	⊢ · = (LSSum‘𝐺)
idlsrgmulrval.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
idlsrgmulrval.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrval.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Proof of Theorem idlsrgmulrval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
2		idlsrgmulrval.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		idlsrgmulrval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
4		idlsrgmulrval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrgmulrval.4	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		idlsrgmulrval.5	. . . . 5 ⊢ · = (LSSum‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	idlsrgmulr 34106	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
9	1, 8	eqtr4id 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊗ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))))
10		oveq12 7449	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
12	11	fveq2d 6909	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
13		idlsrgmulrval.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
14		idlsrgmulrval.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
15		fvexd 6920	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)) ∈ V)
16	9, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  ._rcmulr 17455  LSSumclsm 19875  mulGrpcmgp 20387  LIdealclidl 21511  RSpancrsp 21512  IDLsrgcidlsrg 34099

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-tset 17473  df-ple 17474  df-idlsrg 34100

This theorem is used by:  idlsrgmulrcl  34109  idlsrgmulrss1  34110  idlsrgmulrss2  34111  zarclsun  34569