Theorem idlsrgmulrval 33952

Description: Value of the ring multiplication for the ideals of a ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrval.4	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulrval.5	⊢ · = (LSSum‘𝐺)
idlsrgmulrval.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
idlsrgmulrval.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrval.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Proof of Theorem idlsrgmulrval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
2		idlsrgmulrval.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		idlsrgmulrval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
4		idlsrgmulrval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrgmulrval.4	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		idlsrgmulrval.5	. . . . 5 ⊢ · = (LSSum‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	idlsrgmulr 33950	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
9	1, 8	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊗ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))))
10		oveq12 7425	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
12	11	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
13		idlsrgmulrval.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
14		idlsrgmulrval.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
15		fvexd 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)) ∈ V)
16	9, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7568	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  ._rcmulr 17368  LSSumclsm 19787  mulGrpcmgp 20299  LIdealclidl 21423  RSpancrsp 21424  IDLsrgcidlsrg 33943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-tset 17386  df-ple 17387  df-idlsrg 33944

This theorem is used by:  idlsrgmulrcl  33953  idlsrgmulrss1  33954  idlsrgmulrss2  33955  zarclsun  34413