Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlsrgmulrval 31072
 Description: Value of the ring multiplication for the ideals of a ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlsrgmulrval.1 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3 = (.r𝑆)
idlsrgmulrval.4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulrval.5 · = (LSSum‘𝐺)
idlsrgmulrval.6 (𝜑𝑅𝑉)
idlsrgmulrval.7 (𝜑𝐼𝐵)
idlsrgmulrval.8 (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
idlsrgmulrval (𝜑 → (𝐼 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Proof of Theorem idlsrgmulrval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idlsrgmulrval.3 . . 3 = (.r𝑆)
2 idlsrgmulrval.6 . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
3 idlsrgmulrval.1 . . . . 5 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
4 idlsrgmulrval.2 . . . . 5 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
5 idlsrgmulrval.4 . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6 idlsrgmulrval.5 . . . . 5 · = (LSSum‘𝐺)
73, 4, 5, 6idlsrgmulr 31070 . . . 4 (𝑅𝑉 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r𝑆))
82, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r𝑆))
91, 8eqtr4id 2852 . 2 (𝜑 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))))
10 oveq12 7145 . . . 4 ((𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
1110adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
1211fveq2d 6650 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐽)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
13 idlsrgmulrval.7 . 2 (𝜑𝐼𝐵)
14 idlsrgmulrval.8 . 2 (𝜑𝐽𝐵)
15 fvexd 6661 . 2 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)) ∈ V)
169, 12, 13, 14, 15ovmpod 7283 1 (𝜑 → (𝐼 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  .rcmulr 16561  LSSumclsm 18755  mulGrpcmgp 19236  LIdealclidl 19939  RSpancrsp 19940  IDLsrgcidlsrg 31063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-tset 16579  df-ple 16580  df-idlsrg 31064 This theorem is referenced by:  idlsrgmulrcl  31073  idlsrgmulrss1  31074  idlsrgmulrss2  31075  zarclsun  31238
 Copyright terms: Public domain W3C validator