Theorem idlsrgmulrval 34041

Description: Value of the ring multiplication for the ideals of a ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrval.4	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulrval.5	⊢ · = (LSSum‘𝐺)
idlsrgmulrval.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
idlsrgmulrval.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrval.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Proof of Theorem idlsrgmulrval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
2		idlsrgmulrval.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		idlsrgmulrval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
4		idlsrgmulrval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrgmulrval.4	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		idlsrgmulrval.5	. . . . 5 ⊢ · = (LSSum‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	idlsrgmulr 34039	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
8	2, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
9	1, 8	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊗ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))))
10		oveq12 7429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
12	11	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
13		idlsrgmulrval.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
14		idlsrgmulrval.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
15		fvexd 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)) ∈ V)
16	9, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7572	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ._rcmulr 17429  LSSumclsm 19848  mulGrpcmgp 20360  LIdealclidl 21484  RSpancrsp 21485  IDLsrgcidlsrg 34032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-tset 17447  df-ple 17448  df-idlsrg 34033

This theorem is used by:  idlsrgmulrcl  34042  idlsrgmulrss1  34043  idlsrgmulrss2  34044  zarclsun  34502