Theorem idlsrgmulrval 33453

Description: Value of the ring multiplication for the ideals of a ring 𝑅. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrval.4	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulrval.5	⊢ · = (LSSum‘𝐺)
idlsrgmulrval.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
idlsrgmulrval.7	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrval.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrval	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Proof of Theorem idlsrgmulrval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
2		idlsrgmulrval.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		idlsrgmulrval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
4		idlsrgmulrval.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
5		idlsrgmulrval.4	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6		idlsrgmulrval.5	. . . . 5 ⊢ · = (LSSum‘𝐺)
7	3, 4, 5, 6	idlsrgmulr 33451	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))) = (.r‘𝑆))
9	1, 8	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊗ = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦))))
10		oveq12 7378	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝐼 · 𝐽))
12	11	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝐼 ∧ 𝑦 = 𝐽)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))
13		idlsrgmulrval.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
14		idlsrgmulrval.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
15		fvexd 6855	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)) ∈ V)
16	9, 12, 13, 14, 15	ovmpod 7521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼 · 𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ._rcmulr 17197  LSSumclsm 19540  mulGrpcmgp 20025  LIdealclidl 21092  RSpancrsp 21093  IDLsrgcidlsrg 33444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-tset 17215  df-ple 17216  df-idlsrg 33445

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrcl  33454  idlsrgmulrss1  33455  idlsrgmulrss2  33456  zarclsun  33833