Theorem idlsrgmulr 33920

Description: Multiplicative operation of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulr.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulr.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulr.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulr.4	⊢ ⊗ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulr	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖, 𝑗)   ⊗ (𝑖, 𝑗)   𝐺(𝑖, 𝑗)   𝑉(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem idlsrgmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2, 2	mpoex 8079	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) ∈ V
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
5	4	idlsrgstr 33915	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) Struct ⟨1, ;10⟩
6		mulridx 17383	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
7		snsstp3 4779	. . . . 5 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩}
8		ssun1 4124	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
9	7, 8	sstri 3940	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
10	5, 6, 9	strfv 17298	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) ∈ V → (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
11	3, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
12		idlsrgmulr.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
14		idlsrgmulr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15		idlsrgmulr.4	. . . . 5 ⊢ ⊗ = (LSSum‘𝐺)
16	1, 13, 14, 15	idlsrgval 33916	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (IDLsrg‘𝑅) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
17	12, 16	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
18	17	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
19	11, 18	eqtr4id 2814	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590  {copab 5167   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  0cc0 11127  1c1 11128  ;cdc 12739  ndxcnx 17288  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  TopSetcts 17351  lecple 17352  LSSumclsm 19764  mulGrpcmgp 20276  LIdealclidl 21396  RSpancrsp 21397  IDLsrgcidlsrg 33913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-tset 17364  df-ple 17365  df-idlsrg 33914

This theorem is used by:  idlsrgmulrval  33922