Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlsrgmulr 32087
Description: Multiplicative operation of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlsrgmulr.1 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulr.2 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulr.3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulr.4 = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
idlsrgmulr (𝑅𝑉 → (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r𝑆))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem idlsrgmulr
StepHypRef Expression
1 idlsrgmulr.2 . . . . 5 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
21fvexi 6853 . . . 4 𝐵 ∈ V
32, 2mpoex 8004 . . 3 (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) ∈ V
4 eqid 2736 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})
54idlsrgstr 32082 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}) Struct ⟨1, 10⟩
6 mulrid 17129 . . . 4 .r = Slot (.r‘ndx)
7 snsstp3 4776 . . . . 5 {⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩}
8 ssun1 4130 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})
97, 8sstri 3951 . . . 4 {⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})
105, 6, 9strfv 17030 . . 3 ((𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) ∈ V → (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})))
113, 10ax-mp 5 . 2 (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}))
12 idlsrgmulr.1 . . . 4 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
13 eqid 2736 . . . . 5 (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
14 idlsrgmulr.3 . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15 idlsrgmulr.4 . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
161, 13, 14, 15idlsrgval 32083 . . . 4 (𝑅𝑉 → (IDLsrg‘𝑅) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}))
1712, 16eqtrid 2788 . . 3 (𝑅𝑉𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}))
1817fveq2d 6843 . 2 (𝑅𝑉 → (.r𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})))
1911, 18eqtr4id 2795 1 (𝑅𝑉 → (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  Vcvv 3443  cun 3906  wss 3908  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  cop 4590  {copab 5165  cmpt 5186  ran crn 5632  cfv 6493  (class class class)co 7351  cmpo 7353  0cc0 11009  1c1 11010  cdc 12576  ndxcnx 17019  Basecbs 17037  +gcplusg 17087  .rcmulr 17088  TopSetcts 17093  lecple 17094  LSSumclsm 19369  mulGrpcmgp 19849  LIdealclidl 20578  RSpancrsp 20579  IDLsrgcidlsrg 32080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16973  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-tset 17106  df-ple 17107  df-idlsrg 32081
This theorem is referenced by:  idlsrgmulrval  32089
  Copyright terms: Public domain W3C validator