Theorem idlsrgmulr 32249

Description: Multiplicative operation of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulr.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulr.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulr.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulr.4	⊢ ⊗ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulr	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   ⊗ (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem idlsrgmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulr.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
2	1	fvexi 6856	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2, 2	mpoex 8012	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) ∈ V
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
5	4	idlsrgstr 32244	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}) Struct ⟨1, ;10⟩
6		mulrid 17175	. . . 4 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
7		snsstp3 4778	. . . . 5 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩}
8		ssun1 4132	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
9	7, 8	sstri 3953	. . . 4 ⊢ {⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})
10	5, 6, 9	strfv 17076	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) ∈ V → (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
11	3, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
12		idlsrgmulr.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
14		idlsrgmulr.3	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15		idlsrgmulr.4	. . . . 5 ⊢ ⊗ = (LSSum‘𝐺)
16	1, 13, 14, 15	idlsrgval 32245	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (IDLsrg‘𝑅) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
17	12, 16	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩}))
18	17	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖 ∈ 𝐵 ↦ {𝑗 ∈ 𝐵 ∣ ¬ 𝑖 ⊆ 𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑖 ⊆ 𝑗)}⟩})))
19	11, 18	eqtr4id 2795	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝐵, 𝑗 ∈ 𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 ⊗ 𝑗))) = (.r‘𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4586  {cpr 4588  {ctp 4590  ⟨cop 4592  {copab 5167   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052  ;cdc 12618  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  TopSetcts 17139  lecple 17140  LSSumclsm 19416  mulGrpcmgp 19896  LIdealclidl 20631  RSpancrsp 20632  IDLsrgcidlsrg 32242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-idlsrg 32243

This theorem is referenced by:  idlsrgmulrval  32251