Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgmulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlsrgmulr 31060
 Description: Multiplicative operation of the ideals of a ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlsrgmulr.1 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulr.2 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulr.3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
idlsrgmulr.4 = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
idlsrgmulr (𝑅𝑉 → (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r𝑆))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)   (𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem idlsrgmulr
StepHypRef Expression
1 idlsrgmulr.2 . . . . 5 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
21fvexi 6659 . . . 4 𝐵 ∈ V
32, 2mpoex 7760 . . 3 (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) ∈ V
4 eqid 2798 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})
54idlsrgstr 31055 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}) Struct ⟨1, 10⟩
6 mulrid 16608 . . . 4 .r = Slot (.r‘ndx)
7 snsstp3 4711 . . . . 5 {⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩}
8 ssun1 4099 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})
97, 8sstri 3924 . . . 4 {⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})
105, 6, 9strfv 16523 . . 3 ((𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) ∈ V → (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})))
113, 10ax-mp 5 . 2 (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}))
12 idlsrgmulr.1 . . . 4 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
13 eqid 2798 . . . . 5 (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
14 idlsrgmulr.3 . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
15 idlsrgmulr.4 . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
161, 13, 14, 15idlsrgval 31056 . . . 4 (𝑅𝑉 → (IDLsrg‘𝑅) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}))
1712, 16syl5eq 2845 . . 3 (𝑅𝑉𝑆 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩}))
1817fveq2d 6649 . 2 (𝑅𝑉 → (.r𝑆) = (.r‘({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (LSSum‘𝑅)⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗)))⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), ran (𝑖𝐵 ↦ {𝑗𝐵 ∣ ¬ 𝑖𝑗})⟩, ⟨(le‘ndx), {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝐵𝑖𝑗)}⟩})))
1911, 18eqtr4id 2852 1 (𝑅𝑉 → (𝑖𝐵, 𝑗𝐵 ↦ ((RSpan‘𝑅)‘(𝑖 𝑗))) = (.r𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  {ctp 4529  ⟨cop 4531  {copab 5092   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  0cc0 10526  1c1 10527  ;cdc 12086  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  TopSetcts 16563  lecple 16564  LSSumclsm 18751  mulGrpcmgp 19232  LIdealclidl 19935  RSpancrsp 19936  IDLsrgcidlsrg 31053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-idlsrg 31054 This theorem is referenced by:  idlsrgmulrval  31062
 Copyright terms: Public domain W3C validator