MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isacs4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isacs4 18541
Description: A closure system is algebraic iff closure commutes with directed unions. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acsdrscl.f 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
isacs4 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑠) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑠))))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem isacs4
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs3lem 18534 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝐢)))
2 acsdrscl.f . . . 4 𝐹 = (mrClsβ€˜πΆ)
32isacs4lem 18536 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐢((toIncβ€˜π‘‘) ∈ Dirset β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ 𝐢)) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑠) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑠))))
41, 3syl 17 . 2 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑠) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑠))))
52isacs5lem 18537 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑠) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑠))) β†’ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘‘) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))))
62isacs5 18540 . . 3 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(πΉβ€˜π‘‘) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin))))
75, 6sylibr 233 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑠) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑠))) β†’ 𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
84, 7impbii 208 1 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝒫 𝑋((toIncβ€˜π‘ ) ∈ Dirset β†’ (πΉβ€˜βˆͺ 𝑠) = βˆͺ (𝐹 β€œ 𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3946  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4908   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  Fincfn 8964  Moorecmre 17562  mrClscmrc 17563  ACScacs 17565  Dirsetcdrs 18286  toInccipo 18519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ocomp 17254  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-proset 18287  df-drs 18288  df-poset 18305  df-ipo 18520
This theorem is referenced by:  isacs3  18542
  Copyright terms: Public domain W3C validator