Theorem isringid 20300

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the unity element of a ring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isringid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, 1

Proof of Theorem isringid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		ringidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20174	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		ringidm.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5	1, 4	ringidval 20212	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
6		ringidm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	1, 6	mgpplusg 20173	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8	2, 6	ringideu 20283	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
9		reurex 3370	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
11	3, 5, 7, 10	ismgmid 18682	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∃!wreu 3364  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  mulGrpcmgp 20169  1_rcur 20210  Ringcrg 20262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mgp 20170  df-ur 20211  df-ring 20264

This theorem is referenced by:  imasring  20358  subrg1  20611  cnfld1  21429  pzriprnglem9  21521  pzriprnglem14  21526  psr1  22002  mat1  22487  rloc1r  33415  erng1lem  41575  erngdvlem4-rN  41587