MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1 19820
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1.z 0 = (0g𝑅)
psr1.o 1 = (1r𝑅)
psr1.u 𝑈 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr1 (𝜑𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 psr1.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psr1.z . . 3 0 = (0g𝑅)
6 psr1.o . . 3 1 = (1r𝑅)
7 eqid 2778 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
8 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psr1cl 19810 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
102adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
113adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2778 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
13 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
141, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13psrlidm 19811 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦)
151, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13psrridm 19812 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
1614, 15jca 507 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
1716ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
181, 2, 3psrring 19819 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
19 psr1.u . . . 4 𝑈 = (1r𝑆)
208, 12, 19isringid 18971 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
2118, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
229, 17, 21mpbi2and 702 1 (𝜑𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  {crab 3094  ifcif 4307  {csn 4398  cmpt 4967   × cxp 5355  ccnv 5356  cima 5360  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑚 cmap 8142  Fincfn 8243  0cc0 10274  cn 11379  0cn0 11647  Basecbs 16266  .rcmulr 16350  0gc0g 16497  1rcur 18899  Ringcrg 18945   mPwSer cmps 19759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-tset 16368  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-mulg 17939  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-psr 19764
This theorem is referenced by:  subrgpsr  19827  mplsubrg  19848  mpl1  19852
  Copyright terms: Public domain W3C validator