Theorem psr1 21909

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		psr1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psr1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		psr1.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psr1cl 21899	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
14	1, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13	psrlidm 21900	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦)
15	1, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13	psrridm 21901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
16	14, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
17	16	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
18	1, 2, 3	psrring 21908	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
19		psr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)
20	8, 12, 19	isringid 20190	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
21	18, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
22	9, 17, 21	mpbi2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {crab 3395  ifcif 4475  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  0cc0 11006  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  1_rcur 20100  Ringcrg 20152   mPwSer cmps 21842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-mulg 18981  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-psr 21847

This theorem is referenced by:  subrgpsr  21916  psrascl  21917  mplsubrg  21943  mpl1  21950  psdmvr  22085  mplvrpmrhm  33575  rhmpsr  42591