MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1 21933
Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psr1.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1.z 0 = (0g𝑅)
psr1.o 1 = (1r𝑅)
psr1.u 𝑈 = (1r𝑆)
Assertion
Ref Expression
psr1 (𝜑𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 psr1.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psr1.z . . 3 0 = (0g𝑅)
6 psr1.o . . 3 1 = (1r𝑅)
7 eqid 2725 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
8 eqid 2725 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8psr1cl 21923 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
102adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
113adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2725 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
13 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
141, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13psrlidm 21924 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦)
151, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13psrridm 21925 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
1614, 15jca 510 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
1716ralrimiva 3135 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
181, 2, 3psrring 21932 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
19 psr1.u . . . 4 𝑈 = (1r𝑆)
208, 12, 19isringid 20219 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
2118, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r𝑆)(𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
229, 17, 21mpbi2and 710 1 (𝜑𝑈 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  {crab 3418  ifcif 4530  {csn 4630  cmpt 5232   × cxp 5676  ccnv 5677  cima 5681  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  Fincfn 8964  0cc0 11140  cn 12245  0cn0 12505  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  0gc0g 17424  1rcur 20133  Ringcrg 20185   mPwSer cmps 21854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19032  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-psr 21859
This theorem is referenced by:  subrgpsr  21940  psrascl  21941  mplsubrg  21967  mpl1  21974  rhmpsr  41917
  Copyright terms: Public domain W3C validator