Theorem psr1 22014

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   𝑈(𝑥,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psr1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		psrring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
4		psr1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		psr1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		psr1.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	psr1cl 22004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
14	1, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13	psrlidm 22005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦)
15	1, 10, 11, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13	psrridm 22006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
16	14, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
17	16	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
18	1, 2, 3	psrring 22013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
19		psr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)
20	8, 12, 19	isringid 20294	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
21	18, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
22	9, 17, 21	mpbi2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {crab 3443  ifcif 4548  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260   mPwSer cmps 21947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-psr 21952

This theorem is referenced by:  subrgpsr  22021  psrascl  22022  mplsubrg  22048  mpl1  22055  rhmpsr  42507