Theorem pzriprnglem14 21761

Description: Lemma 14 for pzriprng 21764: The ring unity of the ring 𝑄. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem14	⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Proof of Theorem pzriprnglem14

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12695	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		sneq 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
3	2	xpeq2d 5677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
4	3	sneqd 4595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
5	4	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
6		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
7		zex 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
8		snex 5396	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
9	7, 8	xpex 7750	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
10	9	snid 4622	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})})
12	5, 6, 11	rspcedvdw 3579	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
13	1, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
14		pzriprng.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
15		pzriprng.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
16		pzriprng.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
17		pzriprng.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
18		pzriprng.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
19		pzriprng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem11 21758	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
21	20	eleq2i 2852	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
22		eliun 4954	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
23	21, 22	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	13, 23	mpbir 234	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
25	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem12 21759	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
26	25	rgen 3078	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)
27	24, 26	pm3.2i 476	. 2 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
28	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem13 21760	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ Ring
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
30		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
32	29, 30, 31	isringid 20461	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})))
33	28, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1}))
34	27, 33	mpbi 233	1 ⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4583  ∪ ciun 4950   × cxp 5645  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172  ℤcz 12662  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  ._rcmulr 17390   /_s cqus 17638   ×_s cxps 17639   ~_QG cqg 19293  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  ℤ_ringczring 21713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-prds 17579  df-imas 17641  df-qus 17642  df-xps 17643  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-nsg 19295  df-eqg 19296  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-lss 21168  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-2idl 21504  df-cnfld 21640  df-zring 21714

This theorem is used by:  pzriprng1ALT  21763