Theorem pzriprnglem14 21515

Description: Lemma 14 for pzriprng 21518: The ring unity of the ring 𝑄. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem14	⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Proof of Theorem pzriprnglem14

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12587	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		sneq 4582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
3	2	xpeq2d 5666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
4	3	sneqd 4584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
5	4	eleq2d 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
7		zex 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
8		snex 5386	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
9	7, 8	xpex 7721	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
10	9	snid 4611	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})})
12	5, 6, 11	rspcedvdw 3575	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
13	1, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
14		pzriprng.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
15		pzriprng.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
16		pzriprng.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
17		pzriprng.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
18		pzriprng.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
19		pzriprng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem11 21512	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
21	20	eleq2i 2844	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
22		eliun 4943	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
23	21, 22	bitri 277	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	13, 23	mpbir 233	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
25	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem12 21513	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
26	25	rgen 3068	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)
27	24, 26	pm3.2i 473	. 2 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
28	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem13 21514	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ Ring
29		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
30		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
32	29, 30, 31	isringid 20289	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})))
33	28, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1}))
34	27, 33	mpbi 232	1 ⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  ∃wrex 3076  {csn 4572  ∪ ciun 4939   × cxp 5634  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  0cc0 11059  1c1 11060  ℤcz 12554  Basecbs 17217   ↾_s cress 17238  ._rcmulr 17259   /_s cqus 17507   ×_s cxps 17508   ~_QG cqg 19136  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  ℤ_ringczring 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-map 8794  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-0g 17442  df-prds 17448  df-imas 17510  df-qus 17511  df-xps 17512  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-lss 20968  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247  df-2idl 21289  df-cnfld 21394  df-zring 21468

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21517