Theorem pzriprnglem14 21451

Description: Lemma 14 for pzriprng 21454: The ring unity of the ring 𝑄. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem14	⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Proof of Theorem pzriprnglem14

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12523	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		sneq 4589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
3	2	xpeq2d 5653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
4	3	sneqd 4591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
5	4	eleq2d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
7		zex 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
8		snex 5380	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
9	7, 8	xpex 7698	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
10	9	snid 4618	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})})
12	5, 6, 11	rspcedvdw 3578	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
13	1, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
14		pzriprng.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
15		pzriprng.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
16		pzriprng.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
17		pzriprng.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
18		pzriprng.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
19		pzriprng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem11 21448	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
21	20	eleq2i 2827	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
22		eliun 4949	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
23	21, 22	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	13, 23	mpbir 231	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
25	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem12 21449	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
26	25	rgen 3052	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)
27	24, 26	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
28	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem13 21450	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ Ring
29		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
30		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
32	29, 30, 31	isringid 20208	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})))
33	28, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1}))
34	27, 33	mpbi 230	1 ⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {csn 4579  ∪ ciun 4945   × cxp 5621  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029  ℤcz 12490  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._rcmulr 17180   /_s cqus 17428   ×_s cxps 17429   ~_QG cqg 19054  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  ℤ_ringczring 21403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-imas 17431  df-qus 17432  df-xps 17433  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lss 20885  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-2idl 21207  df-cnfld 21312  df-zring 21404

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21453