Theorem pzriprnglem14 21404

Description: Lemma 14 for pzriprng 21407: The ring unity of the ring 𝑄. (Contributed by AV, 23-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pzriprng.r	⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
pzriprng.i	⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
pzriprng.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
pzriprng.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
pzriprng.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )

Assertion

Ref	Expression
pzriprnglem14	⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Proof of Theorem pzriprnglem14

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12563	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		sneq 4599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → {𝑦} = {1})
3	2	xpeq2d 5668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (ℤ × {𝑦}) = (ℤ × {1}))
4	3	sneqd 4601	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → {(ℤ × {𝑦})} = {(ℤ × {1})})
5	4	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → ((ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})} ↔ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}))
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
7		zex 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
8		snex 5391	. . . . . . . . 9 ⊢ {1} ∈ V
9	7, 8	xpex 7729	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ V
10	9	snid 4626	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})}
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {1})})
12	5, 6, 11	rspcedvdw 3591	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
13	1, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})}
14		pzriprng.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (ℤring ×s ℤring)
15		pzriprng.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (ℤ × {0})
16		pzriprng.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
17		pzriprng.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
18		pzriprng.g	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
19		pzriprng.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
20	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem11 21401	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})}
21	20	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ (ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})})
22		eliun 4959	. . . . 5 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ ∪ 𝑦 ∈ ℤ {(ℤ × {𝑦})} ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
23	21, 22	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ × {1}) ∈ {(ℤ × {𝑦})})
24	13, 23	mpbir 231	. . 3 ⊢ (ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄)
25	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem12 21402	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑄) → (((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
26	25	rgen 3046	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)
27	24, 26	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥))
28	14, 15, 16, 17, 18, 19	pzriprnglem13 21403	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ Ring
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
30		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
31		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
32	29, 30, 31	isringid 20180	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})))
33	28, 32	ax-mp 5	. 2 ⊢ (((ℤ × {1}) ∈ (Base‘𝑄) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑄)(((ℤ × {1})(.r‘𝑄)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑄)(ℤ × {1})) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1}))
34	27, 33	mpbi 230	1 ⊢ (1r‘𝑄) = (ℤ × {1})

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {csn 4589  ∪ ciun 4955   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ℤcz 12529  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221   /_s cqus 17468   ×_s cxps 17469   ~_QG cqg 19054  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  ℤ_ringczring 21356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-imas 17471  df-qus 17472  df-xps 17473  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-2idl 21160  df-cnfld 21265  df-zring 21357

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21406