Theorem umgracycusgr 35141

Description: An acyclic multigraph is a simple graph. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
umgracycusgr	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem umgracycusgr

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	umgrf 29031	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		isacycgr 35132	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
5	4	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
6	2	umgr2cycl 35128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
7		2ne0 12291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
8		neeq1 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
10		hasheq0 14334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
11	10	elv 3455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
12	11	necon3bii 2978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
13	9, 12	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → 𝑓 ≠ ∅)
14	13	anim2i 617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	2eximi 1836	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
20	5, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))
21		dff15 35080	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
22	21	biimpri 228	. . 3 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
23	3, 20, 22	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
24	1, 2	isusgrs 29089	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
25	24	biimprd 248	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
26	25	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
27	23, 26	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450  ∅c0 4298  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5109  dom cdm 5640  ⟶wf 6509  –1-1→wf1 6510  ‘cfv 6513  0cc0 11074  2c2 12242  ♯chash 14301  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  UMGraphcumgr 29014  USGraphcusgr 29082  Cyclesccycls 29721  AcyclicGraphcacycgr 35129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-s2 14820  df-s3 14821  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-usgr 29084  df-wlks 29533  df-trls 29626  df-pths 29650  df-cycls 29723  df-acycgr 35130

This theorem is referenced by:  upgracycusgr  35142