Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgracycusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgracycusgr 32409
 Description: An acyclic multigraph is a simple graph. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
umgracycusgr ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem umgracycusgr
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2821 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2umgrf 26870 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 isacycgr 32400 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
54biimpa 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
62umgr2cycl 32396 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
7 2ne0 11719 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8 neeq1 3069 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑓) = 2 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
97, 8mpbiri 261 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 2 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
10 hasheq0 13708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
1110elv 3476 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
1211necon3bii 3059 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
139, 12sylib 221 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = 2 → 𝑓 ≠ ∅)
1413anim2i 619 . . . . . . . . 9 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
15142eximi 1837 . . . . . . . 8 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
1716ex 416 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
1817con3d 155 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
1918adantr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
205, 19mpd 15 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘))
21 dff15 32361 . . . 4 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
2221biimpri 231 . . 3 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
233, 20, 22syl2an2r 684 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
241, 2isusgrs 26928 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
2524biimprd 251 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
2625adantr 484 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
2723, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127  {crab 3130  Vcvv 3471  ∅c0 4266  𝒫 cpw 4512   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  ⟶wf 6324  –1-1→wf1 6325  ‘cfv 6328  0cc0 10514  2c2 11670  ♯chash 13674  Vtxcvtx 26768  iEdgciedg 26769  UMGraphcumgr 26853  USGraphcusgr 26921  Cyclesccycls 27553  AcyclicGraphcacycgr 32397 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-concat 13902  df-s1 13929  df-s2 14189  df-s3 14190  df-edg 26820  df-uhgr 26830  df-upgr 26854  df-umgr 26855  df-usgr 26923  df-wlks 27368  df-trls 27461  df-pths 27484  df-cycls 27555  df-acycgr 32398 This theorem is referenced by:  upgracycusgr  32410
 Copyright terms: Public domain W3C validator