Theorem umgracycusgr 34440

Description: An acyclic multigraph is a simple graph. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
umgracycusgr	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem umgracycusgr

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	umgrf 28622	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		isacycgr 34431	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
5	4	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
6	2	umgr2cycl 34427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
7		2ne0 12321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
8		neeq1 3002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
9	7, 8	mpbiri 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
10		hasheq0 14328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
11	10	elv 3479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
12	11	necon3bii 2992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
13	9, 12	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → 𝑓 ≠ ∅)
14	13	anim2i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	2eximi 1837	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
20	5, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))
21		dff15 34382	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
22	21	biimpri 227	. . 3 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
23	3, 20, 22	syl2an2r 682	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
24	1, 2	isusgrs 28680	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
25	24	biimprd 247	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
26	25	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
27	23, 26	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  –1-1→wf1 6541  ‘cfv 6544  0cc0 11113  2c2 12272  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  UMGraphcumgr 28605  USGraphcusgr 28673  Cyclesccycls 29306  AcyclicGraphcacycgr 34428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-usgr 28675  df-wlks 29120  df-trls 29213  df-pths 29237  df-cycls 29308  df-acycgr 34429

This theorem is referenced by:  upgracycusgr  34441