Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgracycusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgracycusgr 35139
Description: An acyclic multigraph is a simple graph. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
umgracycusgr ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem umgracycusgr
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2735 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31, 2umgrf 29130 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4 isacycgr 35130 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
54biimpa 476 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
62umgr2cycl 35126 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
7 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑓) = 2 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
97, 8mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) = 2 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
10 hasheq0 14399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
1110elv 3483 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
1211necon3bii 2991 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
139, 12sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = 2 → 𝑓 ≠ ∅)
1413anim2i 617 . . . . . . . . 9 ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
15142eximi 1833 . . . . . . . 8 (∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
166, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅))
1716ex 412 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅)))
1817con3d 152 . . . . 5 (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
1918adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (¬ ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
205, 19mpd 15 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘))
21 dff15 35077 . . . 4 ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)))
2221biimpri 228 . . 3 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗𝑘)) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
233, 20, 22syl2an2r 685 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
241, 2isusgrs 29188 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
2524biimprd 248 . . 3 (𝐺 ∈ UMGraph → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
2625adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
2723, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  c0 4339  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  wf 6559  1-1wf1 6560  cfv 6563  0cc0 11153  2c2 12319  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UMGraphcumgr 29113  USGraphcusgr 29181  Cyclesccycls 29818  AcyclicGraphcacycgr 35127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-usgr 29183  df-wlks 29632  df-trls 29725  df-pths 29749  df-cycls 29820  df-acycgr 35128
This theorem is referenced by:  upgracycusgr  35140
  Copyright terms: Public domain W3C validator