Theorem umgracycusgr 35509

Description: An acyclic multigraph is a simple graph. (Contributed by BTernaryTau, 17-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
umgracycusgr	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem umgracycusgr

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑗 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	umgrf 29306	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
4		isacycgr 35500	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ AcyclicGraph ↔ ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
5	4	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
6	2	umgr2cycl 35496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
7		2ne0 12334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
8		neeq1 3020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
9	7, 8	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (♯‘𝑓) ≠ 0)
10		hasheq0 14386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ V → ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅))
11	10	elv 3460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑓) = 0 ↔ 𝑓 = ∅)
12	11	necon3bii 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑓) ≠ 0 ↔ 𝑓 ≠ ∅)
13	9, 12	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → 𝑓 ≠ ∅)
14	13	anim2i 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → (𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
15	14	2eximi 1857	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
16	6, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅))
17	16	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅)))
18	17	con3d 152	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
19	18	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (¬ ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ 𝑓 ≠ ∅) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
20	5, 19	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘))
21		dff15 35380	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)))
22	21	biimpri 230	. . 3 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ∧ ¬ ∃𝑗 ∈ dom (iEdg‘𝐺)∃𝑘 ∈ dom (iEdg‘𝐺)(((iEdg‘𝐺)‘𝑗) = ((iEdg‘𝐺)‘𝑘) ∧ 𝑗 ≠ 𝑘)) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
23	3, 20, 22	syl2an2r 695	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
24	1, 2	isusgrs 29364	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
25	24	biimprd 250	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
26	25	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (♯‘𝑥) = 2} → 𝐺 ∈ USGraph))
27	23, 26	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ AcyclicGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561  ∃wex 1800   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087  {crab 3415  Vcvv 3455  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ⟶wf 6517  –1-1→wf1 6518  ‘cfv 6521  0cc0 11084  2c2 12282  ♯chash 14353  Vtxcvtx 29204  iEdgciedg 29205  UMGraphcumgr 29289  USGraphcusgr 29357  Cyclesccycls 29992  AcyclicGraphcacycgr 35497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14620  df-s2 14871  df-s3 14872  df-edg 29256  df-uhgr 29266  df-upgr 29290  df-umgr 29291  df-usgr 29359  df-wlks 29807  df-trls 29898  df-pths 29921  df-cycls 29994  df-acycgr 35498

This theorem is referenced by:  upgracycusgr  35510