Theorem iswwlksnx 29777

Description: Properties of a word to represent a walk of a fixed length, definition of WWalks expanded. (Contributed by AV, 28-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iswwlksnx.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
iswwlksnx.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
iswwlksnx	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem iswwlksnx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswwlksn 29775	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
2		iswwlksnx.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		iswwlksnx.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	iswwlks 29773	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
6		nn0p1gt0 12478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
7	6	gt0ne0d 11749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
9		neeq1 2988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ (𝑁 + 1) ≠ 0))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ (𝑁 + 1) ≠ 0))
11	8, 10	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (♯‘𝑊) ≠ 0)
12		hasheq0 14335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 0 ↔ 𝑊 = ∅))
13	12	necon3bid 2970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ 𝑊 ≠ ∅))
14	11, 13	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ≠ ∅))
15	14	pm4.71rd 562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)))
16	15	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
17	16	anbi1d 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
18	5, 17	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
19	4, 18	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
20	19	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
21	20	pm5.32rd 578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
22		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
23	21, 22	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
24	1, 23	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∅c0 4299  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  WWalkscwwlks 29762   WWalksN cwwlksn 29763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-wwlks 29767  df-wwlksn 29768

This theorem is referenced by:  clwwlknwwlksn  29974  wwlksubclwwlk  29994