Theorem clwwlknwwlksn 30019

Description: A word representing a closed walk of length 𝑁 also represents a walk of length 𝑁 − 1. The walk is one edge shorter than the closed walk, because the last edge connecting the last with the first vertex is missing. For example, if ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ (3 ClWWalksN 𝐺) represents a closed walk "abca" of length 3, then ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ (2 WWalksN 𝐺) represents a walk "abc" (not closed if 𝑎 ≠ 𝑐) of length 2, and ⟨“𝑎𝑏𝑐𝑎”⟩ ∈ (3 WWalksN 𝐺) represents also a closed walk "abca" of length 3. (Contributed by AV, 24-Jan-2022.) (Revised by AV, 22-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknwwlksn	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwlknwwlksn

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknnn 30014	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3		idd 24	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5		npcan1 11662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	6	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
8	7	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 ↔ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))
10	2, 3, 9	3anim123d 1445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
11	10	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
12	11	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))))
13	12	a1dd 50	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))))))
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ({(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1)))))))
15	14	3imp1 1348	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
16	15	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
17		isclwwlkn 30008	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
21	19, 20	isclwwlk 29965	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ↔ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
22	21	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ↔ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
23	18, 22	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝑊), (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
24		nnm1nn0 12542	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
25	19, 20	iswwlksnx 29822	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 − 1) + 1))))
27	16, 23, 26	3imtr4d 294	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺)))
28	1, 27	mpcom 38	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4308  {cpr 4603  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  lastSclsw 14580  Vtxcvtx 28975  Edgcedg 29026   WWalksN cwwlksn 29808  ClWWalkscclwwlk 29962   ClWWalksN cclwwlkn 30005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-wwlks 29812  df-wwlksn 29813  df-clwwlk 29963  df-clwwlkn 30006

This theorem is referenced by:  clwwnrepclwwn  30325