Theorem rlmscaf 21533

Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscaf	⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20415	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
7	3, 5, 6	plusffval 18872	. 2 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
8		rlmbas 21519	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9		rlmsca2 21525	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10		baseid 17434	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 2	strfvi 17412	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13		rlmvsca 21526	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
14	8, 9, 11, 12, 13	scaffval 21206	. 2 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
15	7, 14	eqtr4i 2789	1 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   I cid 5552  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∈ cmpo 7453  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  +_𝑓cplusf 18863  mulGrpcmgp 20411   ·_sf cscaf 21187  ringLModcrglmod 21498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-plusf 18865  df-mgp 20412  df-scaf 21189  df-sra 21499  df-rgmod 21500

This theorem is used by:  nrgtrg  25064