MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlmscaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlmscaf 21107
Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
rlmscaf (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 20087 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4 eqid 2728 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
51, 4mgpplusg 20085 . . 3 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6 eqid 2728 . . 3 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
73, 5, 6plusffval 18613 . 2 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r𝑅)𝑦))
8 rlmbas 21093 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9 rlmsca2 21099 . . 3 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10 baseid 17190 . . . 4 Base = Slot (Base‘ndx)
1110, 2strfvi 17166 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12 eqid 2728 . . 3 ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13 rlmvsca 21100 . . 3 (.r𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
148, 9, 11, 12, 13scaffval 20770 . 2 ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r𝑅)𝑦))
157, 14eqtr4i 2759 1 (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   I cid 5579  cfv 6553  (class class class)co 7426  cmpo 7428  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  +𝑓cplusf 18604  mulGrpcmgp 20081   ·sf cscaf 20751  ringLModcrglmod 21064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-plusf 18606  df-mgp 20082  df-scaf 20753  df-sra 21065  df-rgmod 21066
This theorem is referenced by:  nrgtrg  24627
  Copyright terms: Public domain W3C validator