Theorem rlmscaf 21157

Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscaf	⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20078	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20077	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
7	3, 5, 6	plusffval 18569	. 2 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
8		rlmbas 21143	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9		rlmsca2 21149	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10		baseid 17137	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 2	strfvi 17115	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12		eqid 2734	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13		rlmvsca 21150	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
14	8, 9, 11, 12, 13	scaffval 20829	. 2 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
15	7, 14	eqtr4i 2760	1 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1541   I cid 5516  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  +_𝑓cplusf 18560  mulGrpcmgp 20073   ·_sf cscaf 20810  ringLModcrglmod 21122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-plusf 18562  df-mgp 20074  df-scaf 20812  df-sra 21123  df-rgmod 21124

This theorem is referenced by:  nrgtrg  24632