Theorem rlmscaf 21392

Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscaf	⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20279	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 20278	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
7	3, 5, 6	plusffval 18737	. 2 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
8		rlmbas 21378	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9		rlmsca2 21384	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10		baseid 17305	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 2	strfvi 17283	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13		rlmvsca 21385	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
14	8, 9, 11, 12, 13	scaffval 21065	. 2 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
15	7, 14	eqtr4i 2786	1 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   I cid 5549  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ndxcnx 17286  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  +_𝑓cplusf 18728  mulGrpcmgp 20274   ·_sf cscaf 21046  ringLModcrglmod 21357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-plusf 18730  df-mgp 20275  df-scaf 21048  df-sra 21358  df-rgmod 21359

This theorem is used by:  nrgtrg  24917