Theorem rlmscaf 20807

Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscaf	⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 19976	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 19974	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
7	3, 5, 6	plusffval 18554	. 2 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
8		rlmbas 20793	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9		rlmsca2 20799	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10		baseid 17134	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
11	10, 2	strfvi 17110	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12		eqid 2733	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13		rlmvsca 20800	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
14	8, 9, 11, 12, 13	scaffval 20467	. 2 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
15	7, 14	eqtr4i 2764	1 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1542   I cid 5569  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ∈ cmpo 7398  ndxcnx 17113  Basecbs 17131  ._rcmulr 17185  +_𝑓cplusf 18545  mulGrpcmgp 19970   ·_sf cscaf 20449  ringLModcrglmod 20759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-plusf 18547  df-mgp 19971  df-scaf 20451  df-sra 20762  df-rgmod 20763

This theorem is referenced by:  nrgtrg  24176