Theorem rlmscaf 19605

Description: Functionalized scalar multiplication in the ring module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmscaf	⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmscaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 18882	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 18880	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		eqid 2777	. . 3 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅))
7	3, 5, 6	plusffval 17633	. 2 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
8		rlmbas 19592	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
9		rlmsca2 19598	. . 3 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
10		df-base 16261	. . . 4 ⊢ Base = Slot 1
11	10, 2	strfvi 16309	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘( I ‘𝑅))
12		eqid 2777	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))
13		rlmvsca 19599	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
14	8, 9, 11, 12, 13	scaffval 19273	. 2 ⊢ ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
15	7, 14	eqtr4i 2804	1 ⊢ (+𝑓‘(mulGrp‘𝑅)) = ( ·sf ‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1601   I cid 5260  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  1c1 10273  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339  +_𝑓cplusf 17625  mulGrpcmgp 18876   ·_sf cscaf 19256  ringLModcrglmod 19566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-plusf 17627  df-mgp 18877  df-scaf 19258  df-sra 19569  df-rgmod 19570

This theorem is referenced by:  nrgtrg  22902