Theorem knoppndvlem16 33870

Description: Lemma for knoppndv 33877. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem16.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem16.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem16.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem16.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem16	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))

Proof of Theorem knoppndvlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem16.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
3		knoppndvlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
5	2, 4	oveq12d 7177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
6		2cnd 11718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7		knoppndvlem16.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 11657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 10664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
10		2ne0 11744	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7	nnne0d 11690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
13	6, 8, 11, 12	mulne0d 11295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		knoppndvlem16.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
17	9, 13, 16	expclzd 13518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
18	6, 8, 13	mulne0bad 11298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	17, 6, 18	divcld 11419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
20		knoppndvlem16.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 10639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 10663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
24	19, 23, 21	subdid 11099	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
25	24	eqcomd 2830	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
26	21, 22	pncan2d 11002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
27	26	oveq2d 7175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
28	19	mulid1d 10661	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
29	27, 28	eqtrd 2859	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
30	5, 25, 29	3eqtrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   − cmin 10873  -cneg 10874   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  33871  knoppndvlem21  33875