Theorem knoppndvlem16 37224

Description: Lemma for knoppndv 37231. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem16.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem16.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem16.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem16.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem16	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))

Proof of Theorem knoppndvlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem16.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
3		knoppndvlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
5	2, 4	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
6		2cnd 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7		knoppndvlem16.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
10		2ne0 12371	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7	nnne0d 12310	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
13	6, 8, 11, 12	mulne0d 11890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		knoppndvlem16.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
17	9, 13, 16	expclzd 14215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
18	6, 8, 13	mulne0bad 11893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	17, 6, 18	divcld 12015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
20		knoppndvlem16.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 11226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
24	19, 23, 21	subdid 11694	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
25	24	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
26	21, 22	pncan2d 11595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
27	26	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1))
28	19	mulridd 11250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
29	27, 28	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
30	5, 25, 29	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  knoppndvlem17  37225  knoppndvlem21  37229