Theorem knoppndvlem16 37489

Description: Lemma for knoppndv 37496. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem16.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem16.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem16.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem16.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem16	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))

Proof of Theorem knoppndvlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem16.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
3		knoppndvlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀))
5	2, 4	oveq12d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)))
6		2cnd 12428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7		knoppndvlem16.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12358	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
10		2ne0 12456	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7	nnne0d 12395	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
13	6, 8, 11, 12	mulne0d 11975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		knoppndvlem16.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
17	9, 13, 16	expclzd 14301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑ -𝐽) ∈ ℂ)
18	6, 8, 13	mulne0bad 11978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	17, 6, 18	divcld 12100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℂ)
20		knoppndvlem16.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 11309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
24	19, 23, 21	subdid 11779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)))
25	24	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
26	21, 22	pncan2d 11678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
27	26	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 1))
28	19	mulridd 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
29	27, 28	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
30	5, 25, 29	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7424  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ↑cexp 14211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-exp 14212

This theorem is used by:  knoppndvlem17  37490  knoppndvlem21  37494