Theorem knoppndvlem16 37608

Description: Lemma for knoppndv 37615. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem16.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem16.b	⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem16.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem16.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem16	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))

Proof of Theorem knoppndvlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem16.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
3		knoppndvlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀))
5	2, 4	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)))
6		2cnd 12461	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7		knoppndvlem16.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12391	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
9	6, 8	mulcld 11368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
10		2ne0 12489	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
12	7	nnne0d 12428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
13	6, 8, 11, 12	mulne0d 12008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14		knoppndvlem16.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
15	14	nn0zd 12758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
16	15	znegcld 12845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
17	9, 13, 16	expclzd 14334	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑ -𝐽) ∈ ℂ)
18	6, 8, 13	mulne0bad 12011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
19	17, 6, 18	divcld 12133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) ∈ ℂ)
20		knoppndvlem16.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
22		1cnd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
24	19, 23, 21	subdid 11811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)))
25	24	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)))
26	21, 22	pncan2d 11710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 𝑀) = 1)
27	26	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 1))
28	19	mulridd 11365	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · 1) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
29	27, 28	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2) · ((𝑀 + 1) − 𝑀)) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))
30	5, 25, 29	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑ -𝐽) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  knoppndvlem17  37609  knoppndvlem21  37613