Theorem knoppndv 37231

Description: The continuous nowhere differentiable function 𝑊 ( Knopp, K. (1918). Math. Z. 2, 1-26 ) is, in fact, nowhere differentiable. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndv.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndv.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndv.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndv	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁,𝑖,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛)

Proof of Theorem knoppndv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → 𝜑)
2		ax-resscn 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4		knoppndv.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5		knoppndv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6		knoppndv.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
7		knoppndv.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppndv.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 37211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	9	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
12	4, 5, 6, 7, 10, 11	knoppcn 37201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13		cncff 25121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
15		ssidd 3954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
16	3, 14, 15	dvbss 26128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
19	17, 18	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ℎ ∈ ℝ)
20	1, 19	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → (𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ))
21		ssidd 3954	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
22	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
23	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
24		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
26		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ℎ ∈ ℝ)
27	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑁 ∈ ℕ)
28		knoppndv.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
30	4, 5, 6, 23, 24, 25, 26, 27, 29	knoppndvlem22 37230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ ℎ ∧ ℎ ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
31	30	ralrimivva 3205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ ℎ ∧ ℎ ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
32	21, 22, 31	unbdqndv2 37208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
33	20, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
34	33	pm2.01da 811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
35	34	alrimiv 1960	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
36		eq0 4297	. 2 ⊢ (dom (ℝ D 𝑊) = ∅ ↔ ∀ℎ ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
37	35, 36	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  ⌊cfl 13851  ↑cexp 14125  abscabs 15321  Σcsu 15773  –cn→ccncf 25104   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-dvds 16343  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-ntr 23245  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-ulm 26613

This theorem is used by:  cnndvlem1  37234