Theorem knoppndv 37494

Description: The continuous nowhere differentiable function 𝑊 ( Knopp, K. (1918). Math. Z. 2, 1-26 ) is, in fact, nowhere differentiable. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndv.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndv.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndv.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
knoppndv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndv.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndv	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁,𝑖,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛)

Proof of Theorem knoppndv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → 𝜑)
2		ax-resscn 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4		knoppndv.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5		knoppndv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6		knoppndv.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
7		knoppndv.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppndv.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 37474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	9	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
12	4, 5, 6, 7, 10, 11	knoppcn 37464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13		cncff 25221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
15		ssidd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
16	3, 14, 15	dvbss 26228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
19	17, 18	sseldd 3910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ℎ ∈ ℝ)
20	1, 19	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → (𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ))
21		ssidd 3932	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
22	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
23	8	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ( -1(,)1))
24		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
26		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ℎ ∈ ℝ)
27	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑁 ∈ ℕ)
28		knoppndv.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
30	4, 5, 6, 23, 24, 25, 26, 27, 29	knoppndvlem22 37493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ ℎ ∧ ℎ ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
31	30	ralrimivva 3205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎 ≤ ℎ ∧ ℎ ≤ 𝑏) ∧ ((𝑏 − 𝑎) < 𝑑 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊‘𝑏) − (𝑊‘𝑎))) / (𝑏 − 𝑎))))
32	21, 22, 31	unbdqndv2 37471	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ ℝ) → ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
33	20, 32	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
34	33	pm2.01da 811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
35	34	alrimiv 1959	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
36		eq0 4296	. 2 ⊢ (dom (ℝ D 𝑊) = ∅ ↔ ∀ℎ ¬ ℎ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
37	35, 36	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  ℕcn 12340  2c2 12402  ℕ₀cn0 12611  ℝ⁺crp 13125  (,)cioo 13481  ⌊cfl 13935  ↑cexp 14209  abscabs 15408  Σcsu 15860  –cn→ccncf 25204   D cdv 26190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-dvds 16430  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-ntr 23345  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194  df-ulm 26711

This theorem is used by:  cnndvlem1  37497