Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndv 34360
Description: The continuous nowhere differentiable function 𝑊 ( Knopp, K. (1918). Math. Z. 2, 1-26 ) is, in fact, nowhere differentiable. (Contributed by Asger C. Ipsen, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndv.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndv.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndv.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndv.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndv.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndv.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndv (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁,𝑖,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndv
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → 𝜑)
2 ax-resscn 10675 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4 knoppndv.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5 knoppndv.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6 knoppndv.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
7 knoppndv.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppndv.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
98knoppndvlem3 34340 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
109simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
119simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
124, 5, 6, 7, 10, 11knoppcn 34330 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
13 cncff 23648 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℂ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:ℝ⟶ℂ)
15 ssidd 3901 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
163, 14, 15dvbss 24656 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → dom (ℝ D 𝑊) ⊆ ℝ)
18 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ∈ dom (ℝ D 𝑊))
1917, 18sseldd 3879 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ∈ ℝ)
201, 19jca 515 . . . . 5 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → (𝜑 ∈ ℝ))
21 ssidd 3901 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ ℝ) → ℝ ⊆ ℝ)
2214adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ ℝ) → 𝑊:ℝ⟶ℂ)
238ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
24 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
25 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
26 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∈ ℝ)
277ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 𝑁 ∈ ℕ)
28 knoppndv.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2928ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
304, 5, 6, 23, 24, 25, 26, 27, 29knoppndvlem22 34359 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝑑𝑎𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
3130ralrimivva 3104 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ ℝ) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝑑𝑎𝑏) ∧ 𝑒 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
3221, 22, 31unbdqndv2 34337 . . . . 5 ((𝜑 ∈ ℝ) → ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3320, 32syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∈ dom (ℝ D 𝑊)) → ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3433pm2.01da 799 . . 3 (𝜑 → ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3534alrimiv 1934 . 2 (𝜑 → ∀ ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
36 eq0 4233 . 2 (dom (ℝ D 𝑊) = ∅ ↔ ∀ ¬ ∈ dom (ℝ D 𝑊))
3735, 36sylibr 237 1 (𝜑 → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  wss 3844  c0 4212   class class class wbr 5031  cmpt 5111  dom cdm 5526  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  cc 10616  cr 10617  1c1 10619   + caddc 10621   · cmul 10623   < clt 10756  cle 10757  cmin 10951  -cneg 10952   / cdiv 11378  cn 11719  2c2 11774  0cn0 11979  +crp 12475  (,)cioo 12824  cfl 13254  cexp 13524  abscabs 14686  Σcsu 15138  cnccncf 23631   D cdv 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696  ax-addf 10697  ax-mulf 10698
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-2o 8135  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-fi 8951  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-xneg 12593  df-xadd 12594  df-xmul 12595  df-ioo 12828  df-ico 12830  df-icc 12831  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-fl 13256  df-seq 13464  df-exp 13525  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-limsup 14921  df-clim 14938  df-rlim 14939  df-sum 15139  df-dvds 15703  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-starv 16686  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-ip 16689  df-tset 16690  df-ple 16691  df-ds 16693  df-unif 16694  df-hom 16695  df-cco 16696  df-rest 16802  df-topn 16803  df-0g 16821  df-gsum 16822  df-topgen 16823  df-pt 16824  df-prds 16827  df-xrs 16881  df-qtop 16886  df-imas 16887  df-xps 16889  df-mre 16963  df-mrc 16964  df-acs 16966  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-mulg 18346  df-cntz 18568  df-cmn 19029  df-psmet 20212  df-xmet 20213  df-met 20214  df-bl 20215  df-mopn 20216  df-cnfld 20221  df-top 21648  df-topon 21665  df-topsp 21687  df-bases 21700  df-ntr 21774  df-cn 21981  df-cnp 21982  df-tx 22316  df-hmeo 22509  df-xms 23076  df-ms 23077  df-tms 23078  df-cncf 23633  df-limc 24621  df-dv 24622  df-ulm 25127
This theorem is referenced by:  cnndvlem1  34363
  Copyright terms: Public domain W3C validator