Theorem ldualfvs 40333

Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualfvs.m	⊢ · = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvs	⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑓, 𝑘)   ∙ (𝑓, 𝑘)   · (𝑓, 𝑘)   𝑌(𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
11		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 40322	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6897	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14		ldualfvs.s	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		ldualfvs.m	. . 3 ⊢ · = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
16	7	fvexi 6907	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
17	4	fvexi 6907	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
18	16, 17	mpoex 8100	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
20	19	lmodvsca 17512	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
21	18, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
22	15, 21	eqtri 2786	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = · )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∪ cun 4151  {csn 4587  {ctp 4591  ⟨cop 4837   × cxp 5652   ↾ cres 5656  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∈ cmpo 7429   ∘_f cof 7698  ndxcnx 17383  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  ._rcmulr 17441  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  opp_rcoppr 20578  LFnlclfn 40254  LDualcld 40320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-plusg 17453  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ldual 40321

This theorem is used by:  ldualvs  40334