Theorem ldualfvs 40012

Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualfvs.m	⊢ · = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvs	⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑘)   𝐷(𝑓, 𝑘)   𝑅(𝑓, 𝑘)   ∙ (𝑓, 𝑘)   · (𝑓, 𝑘)   𝑌(𝑓, 𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
11		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 40001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14		ldualfvs.s	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		ldualfvs.m	. . 3 ⊢ · = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
16	7	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
17	4	fvexi 6893	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
18	16, 17	mpoex 8079	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
19		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
20	19	lmodvsca 17417	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
21	18, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
22	15, 21	eqtri 2783	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = · )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4590   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416   ∘_f cof 7677  ndxcnx 17288  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  Scalarcsca 17348   ·_𝑠 cvsca 17349  opp_rcoppr 20480  LFnlclfn 39933  LDualcld 39999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ldual 40000

This theorem is used by:  ldualvs  40013