Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvs Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldualfvs 38462
Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualfvs.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualfvs.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
ldualfvs.t Γ— = (.rβ€˜π‘…)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualfvs.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π·)
ldualfvs.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘Œ)
ldualfvs.m Β· = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))
Assertion
Ref Expression
ldualfvs (πœ‘ β†’ βˆ™ = Β· )
Distinct variable groups:   𝑓,π‘˜,𝐹   𝑓,𝐾,π‘˜   Γ— ,𝑓,π‘˜   𝑓,𝑉,π‘˜   𝑓,π‘Š,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓,π‘˜)   𝐷(𝑓,π‘˜)   𝑅(𝑓,π‘˜)   βˆ™ (𝑓,π‘˜)   Β· (𝑓,π‘˜)   π‘Œ(𝑓,π‘˜)
Proof of Theorem ldualfvs
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2724 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3 eqid 2724 . . . 4 ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹)) = ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))
4 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
6 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
8 ldualfvs.t . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π‘…)
9 eqid 2724 . . . 4 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
10 eqid 2724 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜}))) = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))
11 ldualfvs.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ π‘Œ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 38451 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩}))
1312fveq2d 6885 . 2 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩})))
14 ldualfvs.s . 2 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π·)
15 ldualfvs.m . . 3 Β· = (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))
167fvexi 6895 . . . . 5 𝐾 ∈ V
174fvexi 6895 . . . . 5 𝐹 ∈ V
1816, 17mpoex 8059 . . . 4 (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜}))) ∈ V
19 eqid 2724 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩})
2019lmodvsca 17272 . . . 4 ((π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜}))) ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜}))) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩})))
2118, 20ax-mp 5 . . 3 (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜}))) = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩}))
2215, 21eqtri 2752 . 2 Β· = ( ·𝑠 β€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐹⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f (+gβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐹 Γ— 𝐹))⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), (opprβ€˜π‘…)⟩} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘˜ ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f Γ— (𝑉 Γ— {π‘˜})))⟩}))
2313, 14, 223eqtr4g 2789 1 (πœ‘ β†’ βˆ™ = Β· )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βˆͺ cun 3938  {csn 4620  {ctp 4624  βŸ¨cop 4626   Γ— cxp 5664   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   ∘f cof 7661  ndxcnx 17124  Basecbs 17142  +gcplusg 17195  .rcmulr 17196  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  opprcoppr 20224  LFnlclfn 38383  LDualcld 38449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-plusg 17208  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ldual 38450
This theorem is referenced by:  ldualvs  38463
  Copyright terms: Public domain W3C validator