Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualfvs 35157
Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t × = (.r𝑅)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s = ( ·𝑠𝐷)
ldualfvs.w (𝜑𝑊𝑌)
ldualfvs.m · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
Assertion
Ref Expression
ldualfvs (𝜑 = · )
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘)   (𝑓,𝑘)   · (𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2799 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2799 . . . 4 ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ldualfvs.t . . . 4 × = (.r𝑅)
9 eqid 2799 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2799 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
11 ldualfvs.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑌)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 35146 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6415 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14 ldualfvs.s . 2 = ( ·𝑠𝐷)
15 ldualfvs.m . . 3 · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))
167fvexi 6425 . . . . 5 𝐾 ∈ V
174fvexi 6425 . . . . 5 𝐹 ∈ V
1816, 17mpt2ex 7483 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
19 eqid 2799 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
2019lmodvsca 16342 . . . 4 ((𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
2118, 20ax-mp 5 . . 3 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2215, 21eqtri 2821 . 2 · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓𝑓 × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2313, 14, 223eqtr4g 2858 1 (𝜑 = · )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  cun 3767  {csn 4368  {ctp 4372  cop 4374   × cxp 5310  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  𝑓 cof 7129  ndxcnx 16181  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  opprcoppr 18938  LFnlclfn 35078  LDualcld 35144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ldual 35145
This theorem is referenced by:  ldualvs  35158
  Copyright terms: Public domain W3C validator