Theorem ldualfvs 36304

Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualfvs.m	⊢ · = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))

Assertion

Ref	Expression
ldualfvs	⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘)   ∙ (𝑓,𝑘)   · (𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
11		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 36293	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14		ldualfvs.s	. 2 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15		ldualfvs.m	. . 3 ⊢ · = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
16	7	fvexi 6670	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ V
17	4	fvexi 6670	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ V
18	16, 17	mpoex 7763	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
19		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
20	19	lmodvsca 16623	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
21	18, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
22	15, 21	eqtri 2844	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr‘𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
23	13, 14, 22	3eqtr4g 2881	1 ⊢ (𝜑 → ∙ = · )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3486   ∪ cun 3922  {csn 4553  {ctp 4557  ⟨cop 4559   × cxp 5539   ↾ cres 5543  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142   ∈ cmpo 7144   ∘_f cof 7393  ndxcnx 16463  Basecbs 16466  +_gcplusg 16548  ._rcmulr 16549  Scalarcsca 16551   ·_𝑠 cvsca 16552  opp_rcoppr 19355  LFnlclfn 36225  LDualcld 36291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-plusg 16561  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ldual 36292

This theorem is referenced by:  ldualvs  36305