Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualfvs 39118
Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t × = (.r𝑅)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s = ( ·𝑠𝐷)
ldualfvs.w (𝜑𝑊𝑌)
ldualfvs.m · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
Assertion
Ref Expression
ldualfvs (𝜑 = · )
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘)   (𝑓,𝑘)   · (𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2735 . . . 4 ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ldualfvs.t . . . 4 × = (.r𝑅)
9 eqid 2735 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2735 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
11 ldualfvs.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑌)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 39107 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14 ldualfvs.s . 2 = ( ·𝑠𝐷)
15 ldualfvs.m . . 3 · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
167fvexi 6921 . . . . 5 𝐾 ∈ V
174fvexi 6921 . . . . 5 𝐹 ∈ V
1816, 17mpoex 8103 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
19 eqid 2735 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
2019lmodvsca 17375 . . . 4 ((𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
2118, 20ax-mp 5 . . 3 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2215, 21eqtri 2763 . 2 · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2313, 14, 223eqtr4g 2800 1 (𝜑 = · )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631  {ctp 4635  cop 4637   × cxp 5687  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  opprcoppr 20350  LFnlclfn 39039  LDualcld 39105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ldual 39106
This theorem is referenced by:  ldualvs  39119
  Copyright terms: Public domain W3C validator