Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualfvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualfvs 39137
Description: Scalar product operation for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t × = (.r𝑅)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s = ( ·𝑠𝐷)
ldualfvs.w (𝜑𝑊𝑌)
ldualfvs.m · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
Assertion
Ref Expression
ldualfvs (𝜑 = · )
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝐹   𝑓,𝐾,𝑘   × ,𝑓,𝑘   𝑓,𝑉,𝑘   𝑓,𝑊,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑘)   𝑅(𝑓,𝑘)   (𝑓,𝑘)   · (𝑓,𝑘)   𝑌(𝑓,𝑘)

Proof of Theorem ldualfvs
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2737 . . . 4 ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))
4 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
7 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 ldualfvs.t . . . 4 × = (.r𝑅)
9 eqid 2737 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
10 eqid 2737 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
11 ldualfvs.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑌)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 39126 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
14 ldualfvs.s . 2 = ( ·𝑠𝐷)
15 ldualfvs.m . . 3 · = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
167fvexi 6920 . . . . 5 𝐾 ∈ V
174fvexi 6920 . . . . 5 𝐹 ∈ V
1816, 17mpoex 8104 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V
19 eqid 2737 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})
2019lmodvsca 17373 . . . 4 ((𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) ∈ V → (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩})))
2118, 20ax-mp 5 . . 3 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2215, 21eqtri 2765 . 2 · = ( ·𝑠 ‘({⟨(Base‘ndx), 𝐹⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝑅) ↾ (𝐹 × 𝐹))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), (oppr𝑅)⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))⟩}))
2313, 14, 223eqtr4g 2802 1 (𝜑 = · )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  {csn 4626  {ctp 4630  cop 4632   × cxp 5683  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  opprcoppr 20333  LFnlclfn 39058  LDualcld 39124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ldual 39125
This theorem is referenced by:  ldualvs  39138
  Copyright terms: Public domain W3C validator