Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvs 37589
Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualfvs.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t × = (.r𝑅)
ldualfvs.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s = ( ·𝑠𝐷)
ldualfvs.w (𝜑𝑊𝑌)
ldualvs.x (𝜑𝑋𝐾)
ldualvs.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
ldualvs (𝜑 → (𝑋 𝐺) = (𝐺f × (𝑉 × {𝑋})))

Proof of Theorem ldualvs
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldualfvs.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 ldualfvs.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ldualfvs.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4 ldualfvs.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 ldualfvs.t . . . 4 × = (.r𝑅)
6 ldualfvs.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7 ldualfvs.s . . . 4 = ( ·𝑠𝐷)
8 ldualfvs.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑌)
9 eqid 2736 . . . 4 (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ldualfvs 37588 . . 3 (𝜑 = (𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘}))))
1110oveqd 7373 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝐺) = (𝑋(𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺))
12 ldualvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
13 ldualvs.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
14 sneq 4596 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑋 → {𝑘} = {𝑋})
1514xpeq2d 5663 . . . . 5 (𝑘 = 𝑋 → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {𝑋}))
1615oveq2d 7372 . . . 4 (𝑘 = 𝑋 → (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})) = (𝑓f × (𝑉 × {𝑋})))
17 oveq1 7363 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓f × (𝑉 × {𝑋})) = (𝐺f × (𝑉 × {𝑋})))
18 ovex 7389 . . . 4 (𝐺f × (𝑉 × {𝑋})) ∈ V
1916, 17, 9, 18ovmpo 7514 . . 3 ((𝑋𝐾𝐺𝐹) → (𝑋(𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺f × (𝑉 × {𝑋})))
2012, 13, 19syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋(𝑘𝐾, 𝑓𝐹 ↦ (𝑓f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺f × (𝑉 × {𝑋})))
2111, 20eqtrd 2776 1 (𝜑 → (𝑋 𝐺) = (𝐺f × (𝑉 × {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7356  cmpo 7358  f cof 7614  Basecbs 17082  .rcmulr 17133  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  LFnlclfn 37509  LDualcld 37575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ldual 37576
This theorem is referenced by:  ldualvsval  37590  ldualvscl  37591  ldualvsass  37593  ldualvsdi1  37595  ldualvsdi2  37596  lduallmodlem  37604  eqlkr4  37617  ldual1dim  37618  ldualkrsc  37619  lkrss  37620
  Copyright terms: Public domain W3C validator