Theorem ldualvs 39130

Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))

Proof of Theorem ldualvs

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ldualfvs 39129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))))
11	10	oveqd 7404	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺))
12		ldualvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
13		ldualvs.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14		sneq 4599	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → {𝑘} = {𝑋})
15	14	xpeq2d 5668	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {𝑋}))
16	15	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})) = (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
17		oveq1 7394	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑋})) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
18		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})) ∈ V
19	16, 17, 9, 18	ovmpo 7549	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
20	12, 13, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
21	11, 20	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389   ∘_f cof 7651  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  LFnlclfn 39050  LDualcld 39116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ldual 39117

This theorem is referenced by:  ldualvsval  39131  ldualvscl  39132  ldualvsass  39134  ldualvsdi1  39136  ldualvsdi2  39137  lduallmodlem  39145  eqlkr4  39158  ldual1dim  39159  ldualkrsc  39160  lkrss  39161