Theorem ldualvs 39119

Description: Scalar product operation value (which is a functional) for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualfvs.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualfvs.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualfvs.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualfvs.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualfvs.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
ldualfvs.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualfvs.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualfvs.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
ldualvs.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualvs.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvs	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))

Proof of Theorem ldualvs

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualfvs.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualfvs.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		ldualfvs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualfvs.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		ldualfvs.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
6		ldualfvs.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualfvs.s	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualfvs.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑌)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ldualfvs 39118	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘}))))
11	10	oveqd 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺))
12		ldualvs.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
13		ldualvs.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14		sneq 4641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → {𝑘} = {𝑋})
15	14	xpeq2d 5719	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {𝑋}))
16	15	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})) = (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
17		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑋})) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
18		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})) ∈ V
19	16, 17, 9, 18	ovmpo 7593	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
20	12, 13, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(𝑘 ∈ 𝐾, 𝑓 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘f × (𝑉 × {𝑘})))𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))
21	11, 20	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝐺) = (𝐺 ∘f × (𝑉 × {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  LFnlclfn 39039  LDualcld 39105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ldual 39106

This theorem is referenced by:  ldualvsval  39120  ldualvscl  39121  ldualvsass  39123  ldualvsdi1  39125  ldualvsdi2  39126  lduallmodlem  39134  eqlkr4  39147  ldual1dim  39148  ldualkrsc  39149  lkrss  39150