Theorem ldualsmul 38309

Description: Scalar multiplication for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ldualsmul.t	⊢ · = (.r‘𝐹)
ldualsmul.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsmul.m	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
ldualsmul.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
ldualsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualsmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ldualsmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem ldualsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualsmul.m	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
2		ldualsmul.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
4		ldualsmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualsmul.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
6		ldualsmul.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	ldualsca 38306	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (oppr‘𝐹))
8	7	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(oppr‘𝐹)))
9	1, 8	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘(oppr‘𝐹)))
10	9	oveqd 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌))
11		ldualsmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12		ldualsmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐹)) = (.r‘(oppr‘𝐹))
14	11, 12, 3, 13	opprmul 20229	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
15	10, 14	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  Scalarcsca 17205  opp_rcoppr 20225  LDualcld 38297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-oppr 20226  df-ldual 38298

This theorem is referenced by:  ldualvsass2  38316