Theorem ldualsmul 39969

Description: Scalar multiplication for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ldualsmul.t	⊢ · = (.r‘𝐹)
ldualsmul.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsmul.m	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
ldualsmul.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
ldualsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualsmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ldualsmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem ldualsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualsmul.m	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
2		ldualsmul.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
4		ldualsmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualsmul.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
6		ldualsmul.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	ldualsca 39966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (oppr‘𝐹))
8	7	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(oppr‘𝐹)))
9	1, 8	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘(oppr‘𝐹)))
10	9	oveqd 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌))
11		ldualsmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12		ldualsmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
13		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐹)) = (.r‘(oppr‘𝐹))
14	11, 12, 3, 13	opprmul 20470	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
15	10, 14	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  ._rcmulr 17335  Scalarcsca 17337  opp_rcoppr 20466  LDualcld 39957

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-oppr 20467  df-ldual 39958

This theorem is used by:  ldualvsass2  39976