Theorem ldualsmul 40192

Description: Scalar multiplication for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ldualsmul.t	⊢ · = (.r‘𝐹)
ldualsmul.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsmul.m	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
ldualsmul.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
ldualsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualsmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ldualsmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem ldualsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualsmul.m	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
2		ldualsmul.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
4		ldualsmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualsmul.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
6		ldualsmul.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	ldualsca 40189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (oppr‘𝐹))
8	7	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(oppr‘𝐹)))
9	1, 8	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘(oppr‘𝐹)))
10	9	oveqd 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌))
11		ldualsmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12		ldualsmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
13		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐹)) = (.r‘(oppr‘𝐹))
14	11, 12, 3, 13	opprmul 20570	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
15	10, 14	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431  opp_rcoppr 20566  LDualcld 40180

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-oppr 20567  df-ldual 40181

This theorem is used by:  ldualvsass2  40199