Theorem ldualsmul 39133

Description: Scalar multiplication for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsmul.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsmul.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ldualsmul.t	⊢ · = (.r‘𝐹)
ldualsmul.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsmul.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsmul.m	⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
ldualsmul.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
ldualsmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualsmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ldualsmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Proof of Theorem ldualsmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualsmul.m	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑅)
2		ldualsmul.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
4		ldualsmul.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualsmul.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
6		ldualsmul.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 4, 5, 6	ldualsca 39130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (oppr‘𝐹))
8	7	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(oppr‘𝐹)))
9	1, 8	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = (.r‘(oppr‘𝐹)))
10	9	oveqd 7370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌))
11		ldualsmul.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
12		ldualsmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝐹)
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘(oppr‘𝐹)) = (.r‘(oppr‘𝐹))
14	11, 12, 3, 13	opprmul 20244	. 2 ⊢ (𝑋(.r‘(oppr‘𝐹))𝑌) = (𝑌 · 𝑋)
15	10, 14	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∙ 𝑌) = (𝑌 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  ._rcmulr 17181  Scalarcsca 17183  opp_rcoppr 20240  LDualcld 39121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-oppr 20241  df-ldual 39122

This theorem is referenced by:  ldualvsass2  39140