Theorem ldualsaddN 39994

Description: Scalar addition for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsadd.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsadd.q	⊢ + = (+g‘𝐹)
ldualsadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑅)
ldualsadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualsaddN	⊢ (𝜑 → ✚ = + )

Proof of Theorem ldualsaddN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualsadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
3		ldualsadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		ldualsadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
5		ldualsadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3, 4, 5	ldualsca 39992	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (oppr‘𝐹))
7	6	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝐹)))
8		ldualsadd.p	. 2 ⊢ ✚ = (+g‘𝑅)
9		ldualsadd.q	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
10	2, 9	oppradd 20486	. 2 ⊢ + = (+g‘(oppr‘𝐹))
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2822	1 ⊢ (𝜑 → ✚ = + )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  +_gcplusg 17346  Scalarcsca 17349  opp_rcoppr 20478  LDualcld 39983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-oppr 20479  df-ldual 39984

This theorem is used by: (None)