Theorem ldualsca 38644

Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
ldualsca.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsca.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem ldualsca

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊))) = ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
5		ldualsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
9		ldualsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualsca.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 38637	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6906	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
15	9	fvexi 6916	. . 3 ⊢ 𝑂 ∈ V
16		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodsca 17318	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2793	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∪ cun 3947  {csn 4632  {ctp 4636  ⟨cop 4638   × cxp 5680   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ∘_f cof 7690  ndxcnx 17171  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  ._rcmulr 17243  Scalarcsca 17245   ·_𝑠 cvsca 17246  opp_rcoppr 20286  LFnlclfn 38569  LDualcld 38635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ldual 38636

This theorem is referenced by:  ldualsbase  38645  ldualsaddN  38646  ldualsmul  38647  ldual0  38659  ldual1  38660  ldualneg  38661  lduallmodlem  38664  lduallvec  38666  ldualvsub  38667  lcdsca  41112