Theorem ldualsca 36832

Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
ldualsca.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsca.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem ldualsca

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊))) = ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
5		ldualsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
9		ldualsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualsca.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 36825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6699	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
15	9	fvexi 6709	. . 3 ⊢ 𝑂 ∈ V
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodsca 16823	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ∪ cun 3851  {csn 4527  {ctp 4531  ⟨cop 4533   × cxp 5534   ↾ cres 5538  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∈ cmpo 7193   ∘_f cof 7445  ndxcnx 16663  Basecbs 16666  +_gcplusg 16749  ._rcmulr 16750  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  opp_rcoppr 19594  LFnlclfn 36757  LDualcld 36823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-plusg 16762  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ldual 36824

This theorem is referenced by:  ldualsbase  36833  ldualsaddN  36834  ldualsmul  36835  ldual0  36847  ldual1  36848  ldualneg  36849  lduallmodlem  36852  lduallvec  36854  ldualvsub  36855  lcdsca  39299