![]() |
Mathbox for Norm Megill |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > ldualsca | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ldualsca.f | โข ๐น = (Scalarโ๐) |
ldualsca.o | โข ๐ = (opprโ๐น) |
ldualsca.d | โข ๐ท = (LDualโ๐) |
ldualsca.r | โข ๐ = (Scalarโ๐ท) |
ldualsca.w | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
ldualsca | โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2726 | . . . 4 โข (Baseโ๐) = (Baseโ๐) | |
2 | eqid 2726 | . . . 4 โข (+gโ๐น) = (+gโ๐น) | |
3 | eqid 2726 | . . . 4 โข ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐))) = ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐))) | |
4 | eqid 2726 | . . . 4 โข (LFnlโ๐) = (LFnlโ๐) | |
5 | ldualsca.d | . . . 4 โข ๐ท = (LDualโ๐) | |
6 | ldualsca.f | . . . 4 โข ๐น = (Scalarโ๐) | |
7 | eqid 2726 | . . . 4 โข (Baseโ๐น) = (Baseโ๐น) | |
8 | eqid 2726 | . . . 4 โข (.rโ๐น) = (.rโ๐น) | |
9 | ldualsca.o | . . . 4 โข ๐ = (opprโ๐น) | |
10 | eqid 2726 | . . . 4 โข (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐}))) = (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐}))) | |
11 | ldualsca.w | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 | ldualset 38508 | . . 3 โข (๐ โ ๐ท = ({โจ(Baseโndx), (LFnlโ๐)โฉ, โจ(+gโndx), ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐)))โฉ, โจ(Scalarโndx), ๐โฉ} โช {โจ( ยท๐ โndx), (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐})))โฉ})) |
13 | 12 | fveq2d 6889 | . 2 โข (๐ โ (Scalarโ๐ท) = (Scalarโ({โจ(Baseโndx), (LFnlโ๐)โฉ, โจ(+gโndx), ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐)))โฉ, โจ(Scalarโndx), ๐โฉ} โช {โจ( ยท๐ โndx), (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐})))โฉ}))) |
14 | ldualsca.r | . 2 โข ๐ = (Scalarโ๐ท) | |
15 | 9 | fvexi 6899 | . . 3 โข ๐ โ V |
16 | eqid 2726 | . . . 4 โข ({โจ(Baseโndx), (LFnlโ๐)โฉ, โจ(+gโndx), ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐)))โฉ, โจ(Scalarโndx), ๐โฉ} โช {โจ( ยท๐ โndx), (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐})))โฉ}) = ({โจ(Baseโndx), (LFnlโ๐)โฉ, โจ(+gโndx), ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐)))โฉ, โจ(Scalarโndx), ๐โฉ} โช {โจ( ยท๐ โndx), (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐})))โฉ}) | |
17 | 16 | lmodsca 17282 | . . 3 โข (๐ โ V โ ๐ = (Scalarโ({โจ(Baseโndx), (LFnlโ๐)โฉ, โจ(+gโndx), ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐)))โฉ, โจ(Scalarโndx), ๐โฉ} โช {โจ( ยท๐ โndx), (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐})))โฉ}))) |
18 | 15, 17 | ax-mp 5 | . 2 โข ๐ = (Scalarโ({โจ(Baseโndx), (LFnlโ๐)โฉ, โจ(+gโndx), ( โf (+gโ๐น) โพ ((LFnlโ๐) ร (LFnlโ๐)))โฉ, โจ(Scalarโndx), ๐โฉ} โช {โจ( ยท๐ โndx), (๐ โ (Baseโ๐น), ๐ โ (LFnlโ๐) โฆ (๐ โf (.rโ๐น)((Baseโ๐) ร {๐})))โฉ})) |
19 | 13, 14, 18 | 3eqtr4g 2791 | 1 โข (๐ โ ๐ = ๐) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 โช cun 3941 {csn 4623 {ctp 4627 โจcop 4629 ร cxp 5667 โพ cres 5671 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โ cmpo 7407 โf cof 7665 ndxcnx 17135 Basecbs 17153 +gcplusg 17206 .rcmulr 17207 Scalarcsca 17209 ยท๐ cvsca 17210 opprcoppr 20235 LFnlclfn 38440 LDualcld 38506 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-fz 13491 df-struct 17089 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-plusg 17219 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ldual 38507 |
This theorem is referenced by: ldualsbase 38516 ldualsaddN 38517 ldualsmul 38518 ldual0 38530 ldual1 38531 ldualneg 38532 lduallmodlem 38535 lduallvec 38537 ldualvsub 38538 lcdsca 40983 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |