Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualsca 36421
 Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsca.o 𝑂 = (oppr𝐹)
ldualsca.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsca.r 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsca.w (𝜑𝑊𝑋)
Assertion
Ref Expression
ldualsca (𝜑𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem ldualsca
Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2801 . . . 4 (+g𝐹) = (+g𝐹)
3 eqid 2801 . . . 4 ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊))) = ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))
4 eqid 2801 . . . 4 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
5 ldualsca.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6 ldualsca.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2801 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8 eqid 2801 . . . 4 (.r𝐹) = (.r𝐹)
9 ldualsca.o . . . 4 𝑂 = (oppr𝐹)
10 eqid 2801 . . . 4 (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11 ldualsca.w . . . 4 (𝜑𝑊𝑋)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 36414 . . 3 (𝜑𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1312fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14 ldualsca.r . 2 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
159fvexi 6663 . . 3 𝑂 ∈ V
16 eqid 2801 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
1716lmodsca 16634 . . 3 (𝑂 ∈ V → 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
1815, 17ax-mp 5 . 2 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓f (.r𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
1913, 14, 183eqtr4g 2861 1 (𝜑𝑅 = 𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882  {csn 4528  {ctp 4532  ⟨cop 4534   × cxp 5521   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   ∘f cof 7391  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  opprcoppr 19371  LFnlclfn 36346  LDualcld 36412 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ldual 36413 This theorem is referenced by:  ldualsbase  36422  ldualsaddN  36423  ldualsmul  36424  ldual0  36436  ldual1  36437  ldualneg  36438  lduallmodlem  36441  lduallvec  36443  ldualvsub  36444  lcdsca  38888
 Copyright terms: Public domain W3C validator