Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualsca 38515
Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualsca.f ๐น = (Scalarโ€˜๐‘Š)
ldualsca.o ๐‘‚ = (opprโ€˜๐น)
ldualsca.d ๐ท = (LDualโ€˜๐‘Š)
ldualsca.r ๐‘… = (Scalarโ€˜๐ท)
ldualsca.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
ldualsca (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ๐‘‚)

Proof of Theorem ldualsca
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
2 eqid 2726 . . . 4 (+gโ€˜๐น) = (+gโ€˜๐น)
3 eqid 2726 . . . 4 ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š))) = ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))
4 eqid 2726 . . . 4 (LFnlโ€˜๐‘Š) = (LFnlโ€˜๐‘Š)
5 ldualsca.d . . . 4 ๐ท = (LDualโ€˜๐‘Š)
6 ldualsca.f . . . 4 ๐น = (Scalarโ€˜๐‘Š)
7 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐น) = (Baseโ€˜๐น)
8 eqid 2726 . . . 4 (.rโ€˜๐น) = (.rโ€˜๐น)
9 ldualsca.o . . . 4 ๐‘‚ = (opprโ€˜๐น)
10 eqid 2726 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜}))) = (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))
11 ldualsca.w . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐‘‹)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ldualset 38508 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), (LFnlโ€˜๐‘Š)โŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))โŸฉ, โŸจ(Scalarโ€˜ndx), ๐‘‚โŸฉ} โˆช {โŸจ( ยท๐‘  โ€˜ndx), (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))โŸฉ}))
1312fveq2d 6889 . 2 (๐œ‘ โ†’ (Scalarโ€˜๐ท) = (Scalarโ€˜({โŸจ(Baseโ€˜ndx), (LFnlโ€˜๐‘Š)โŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))โŸฉ, โŸจ(Scalarโ€˜ndx), ๐‘‚โŸฉ} โˆช {โŸจ( ยท๐‘  โ€˜ndx), (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))โŸฉ})))
14 ldualsca.r . 2 ๐‘… = (Scalarโ€˜๐ท)
159fvexi 6899 . . 3 ๐‘‚ โˆˆ V
16 eqid 2726 . . . 4 ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), (LFnlโ€˜๐‘Š)โŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))โŸฉ, โŸจ(Scalarโ€˜ndx), ๐‘‚โŸฉ} โˆช {โŸจ( ยท๐‘  โ€˜ndx), (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))โŸฉ}) = ({โŸจ(Baseโ€˜ndx), (LFnlโ€˜๐‘Š)โŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))โŸฉ, โŸจ(Scalarโ€˜ndx), ๐‘‚โŸฉ} โˆช {โŸจ( ยท๐‘  โ€˜ndx), (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))โŸฉ})
1716lmodsca 17282 . . 3 (๐‘‚ โˆˆ V โ†’ ๐‘‚ = (Scalarโ€˜({โŸจ(Baseโ€˜ndx), (LFnlโ€˜๐‘Š)โŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))โŸฉ, โŸจ(Scalarโ€˜ndx), ๐‘‚โŸฉ} โˆช {โŸจ( ยท๐‘  โ€˜ndx), (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))โŸฉ})))
1815, 17ax-mp 5 . 2 ๐‘‚ = (Scalarโ€˜({โŸจ(Baseโ€˜ndx), (LFnlโ€˜๐‘Š)โŸฉ, โŸจ(+gโ€˜ndx), ( โˆ˜f (+gโ€˜๐น) โ†พ ((LFnlโ€˜๐‘Š) ร— (LFnlโ€˜๐‘Š)))โŸฉ, โŸจ(Scalarโ€˜ndx), ๐‘‚โŸฉ} โˆช {โŸจ( ยท๐‘  โ€˜ndx), (๐‘˜ โˆˆ (Baseโ€˜๐น), ๐‘“ โˆˆ (LFnlโ€˜๐‘Š) โ†ฆ (๐‘“ โˆ˜f (.rโ€˜๐น)((Baseโ€˜๐‘Š) ร— {๐‘˜})))โŸฉ}))
1913, 14, 183eqtr4g 2791 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = ๐‘‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆช cun 3941  {csn 4623  {ctp 4627  โŸจcop 4629   ร— cxp 5667   โ†พ cres 5671  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407   โˆ˜f cof 7665  ndxcnx 17135  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ยท๐‘  cvsca 17210  opprcoppr 20235  LFnlclfn 38440  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  ldualsbase  38516  ldualsaddN  38517  ldualsmul  38518  ldual0  38530  ldual1  38531  ldualneg  38532  lduallmodlem  38535  lduallvec  38537  ldualvsub  38538  lcdsca  40983
  Copyright terms: Public domain W3C validator