Theorem ldualsca 39633

Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
ldualsca.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsca.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem ldualsca

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊))) = ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
5		ldualsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
9		ldualsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
10		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualsca.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 39626	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6832	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
15	9	fvexi 6842	. . 3 ⊢ 𝑂 ∈ V
16		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodsca 17283	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881  {csn 4556  {ctp 4560  ⟨cop 4562   × cxp 5617   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ∘_f cof 7619  ndxcnx 17155  Basecbs 17171  +_gcplusg 17212  ._rcmulr 17213  Scalarcsca 17215   ·_𝑠 cvsca 17216  opp_rcoppr 20308  LFnlclfn 39558  LDualcld 39624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7621  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ldual 39625

This theorem is referenced by:  ldualsbase  39634  ldualsaddN  39635  ldualsmul  39636  ldual0  39648  ldual1  39649  ldualneg  39650  lduallmodlem  39653  lduallvec  39655  ldualvsub  39656  lcdsca  42100