Theorem ldualsca 38734

Description: The ring of scalars of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsca.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
ldualsca.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsca.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsca.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
ldualsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Proof of Theorem ldualsca

Dummy variables 𝑓 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊))) = ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
5		ldualsca.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
6		ldualsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
8		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
9		ldualsca.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝐹)
10		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘}))) = (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))
11		ldualsca.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	ldualset 38727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
13	12	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
14		ldualsca.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
15	9	fvexi 6910	. . 3 ⊢ 𝑂 ∈ V
16		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})
17	16	lmodsca 17312	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩})))
18	15, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 = (Scalar‘({⟨(Base‘ndx), (LFnl‘𝑊)⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f (+g‘𝐹) ↾ ((LFnl‘𝑊) × (LFnl‘𝑊)))⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑂⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑘 ∈ (Base‘𝐹), 𝑓 ∈ (LFnl‘𝑊) ↦ (𝑓 ∘f (.r‘𝐹)((Base‘𝑊) × {𝑘})))⟩}))
19	13, 14, 18	3eqtr4g 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∪ cun 3942  {csn 4630  {ctp 4634  ⟨cop 4636   × cxp 5676   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ∘_f cof 7683  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  ._rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  opp_rcoppr 20284  LFnlclfn 38659  LDualcld 38725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ldual 38726

This theorem is referenced by:  ldualsbase  38735  ldualsaddN  38736  ldualsmul  38737  ldual0  38749  ldual1  38750  ldualneg  38751  lduallmodlem  38754  lduallvec  38756  ldualvsub  38757  lcdsca  41202