Theorem ldualsbase 37173

Description: Base set of scalar ring for the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualsbase.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ldualsbase.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
ldualsbase.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualsbase.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
ldualsbase.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualsbase.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualsbase	⊢ (𝜑 → 𝐾 = 𝐿)

Proof of Theorem ldualsbase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualsbase.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝐹) = (oppr‘𝐹)
3		ldualsbase.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		ldualsbase.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝐷)
5		ldualsbase.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3, 4, 5	ldualsca 37172	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (oppr‘𝐹))
7	6	fveq2d 6796	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝐹)))
8		ldualsbase.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
9		ldualsbase.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝐹)
10	2, 9	opprbas 19897	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘(oppr‘𝐹))
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  ‘cfv 6447  Basecbs 16940  Scalarcsca 16993  opp_rcoppr 19889  LDualcld 37163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-tpos 8062  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-oppr 19890  df-ldual 37164

This theorem is referenced by:  ldualvsubval  37197  ldualssvscl  37198  ldual1dim  37206  lkreqN  37210  lkrlspeqN  37211  lclkr  39573  lclkrs  39579  lcfrvalsnN  39581