Theorem lkrscss 39558

Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lkrscss	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrsc.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrsc.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lkrsc.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lkrsc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8	1, 2, 3, 6, 7	lkrssv 39556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
9		lkrsc.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10		lkrsc.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
11		lkrsc.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐷)
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
13	1, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7	lfl0sc 39542	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
14	13	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})
16	9, 12, 1, 2	lfl0f 39529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹)
17	9, 12, 1, 2, 3	lkr0f 39554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
18	6, 16, 17	syl2anc2 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
19	15, 18	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉)
20	14, 19	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
21	8, 20	sseqtrd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
23		sneq 4578	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → {𝑅} = {(0g‘𝐷)})
24	23	xpeq2d 5654	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
25	24	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
26	25	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
28	22, 27	sseqtrrd 3960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
29	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
30	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
31		lkrsc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g‘𝐷))
34	1, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33	lkrsc 39557	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))
35		eqimss2 3982	. . 3 ⊢ ((𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
37	28, 36	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  {csn 4568   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LVecclvec 21089  LFnlclfn 39517  LKerclk 39545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20481  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lvec 21090  df-lfl 39518  df-lkr 39546

This theorem is referenced by:  lfl1dim  39581  lfl1dim2N  39582  lkrss  39628