Theorem lkrscss 39979

Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lkrscss	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrsc.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrsc.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lkrsc.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lkrsc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8	1, 2, 3, 6, 7	lkrssv 39977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
9		lkrsc.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10		lkrsc.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
11		lkrsc.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐷)
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
13	1, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7	lfl0sc 39963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
14	13	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
15		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})
16	9, 12, 1, 2	lfl0f 39950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹)
17	9, 12, 1, 2, 3	lkr0f 39975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
18	6, 16, 17	syl2anc2 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
19	15, 18	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉)
20	14, 19	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
21	8, 20	sseqtrd 3970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
23		sneq 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → {𝑅} = {(0g‘𝐷)})
24	23	xpeq2d 5689	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
25	24	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
26	25	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
27	26	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
28	22, 27	sseqtrrd 3971	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
29	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
30	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
31		lkrsc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
33		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g‘𝐷))
34	1, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33	lkrsc 39978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))
35		eqimss2 3993	. . 3 ⊢ ((𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
36	34, 35	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
37	28, 36	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3902  {csn 4587   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351  0_gc0g 17530  LModclmod 21050  LVecclvec 21292  LFnlclfn 39938  LKerclk 39966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-nzr 20679  df-rlreg 20862  df-domn 20863  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lvec 21293  df-lfl 39939  df-lkr 39967

This theorem is used by:  lfl1dim  40002  lfl1dim2N  40003  lkrss  40049