Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrscss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrscss 35715
Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lkrscss (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrsc.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrsc.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4 lkrsc.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19556 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lkrsc.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
81, 2, 3, 6, 7lkrssv 35713 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
9 lkrsc.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10 lkrsc.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐷)
11 lkrsc.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
12 eqid 2793 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
131, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7lfl0sc 35699 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1413fveq2d 6534 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})))
15 eqid 2793 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})
169, 12, 1, 2lfl0f 35686 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
179, 12, 1, 2, 3lkr0f 35711 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
186, 16, 17syl2anc2 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
1915, 18mpbiri 259 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉)
2014, 19eqtr2d 2830 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
218, 20sseqtrd 3923 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2221adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
23 sneq 4476 . . . . . . 7 (𝑅 = (0g𝐷) → {𝑅} = {(0g𝐷)})
2423xpeq2d 5465 . . . . . 6 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2524oveq2d 7023 . . . . 5 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2625fveq2d 6534 . . . 4 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2726adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2822, 27sseqtr4d 3924 . 2 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
294adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
307adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝐺𝐹)
31 lkrsc.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐾)
3231adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅𝐾)
33 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g𝐷))
341, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33lkrsc 35714 . . 3 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
35 eqimss2 3940 . . 3 ((𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
3634, 35syl 17 . 2 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
3728, 36pm2.61dane 3070 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wss 3854  {csn 4466   × cxp 5433  cfv 6217  (class class class)co 7007  𝑓 cof 7256  Basecbs 16300  .rcmulr 16383  Scalarcsca 16385  0gc0g 16530  LModclmod 19312  LVecclvec 19552  LFnlclfn 35674  LKerclk 35702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-tpos 7734  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-0g 16532  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-sbg 17854  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-drng 19182  df-lmod 19314  df-lss 19382  df-lvec 19553  df-lfl 35675  df-lkr 35703
This theorem is referenced by:  lfl1dim  35738  lfl1dim2N  35739  lkrss  35785
  Copyright terms: Public domain W3C validator