Theorem lkrscss 39853

Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lkrscss	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrsc.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrsc.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lkrsc.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lkrsc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8	1, 2, 3, 6, 7	lkrssv 39851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
9		lkrsc.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10		lkrsc.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
11		lkrsc.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐷)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
13	1, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7	lfl0sc 39837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
14	13	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})
16	9, 12, 1, 2	lfl0f 39824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹)
17	9, 12, 1, 2, 3	lkr0f 39849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
18	6, 16, 17	syl2anc2 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
19	15, 18	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉)
20	14, 19	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
21	8, 20	sseqtrd 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
22	21	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
23		sneq 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → {𝑅} = {(0g‘𝐷)})
24	23	xpeq2d 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
25	24	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
26	25	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
27	26	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
28	22, 27	sseqtrrd 3975	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
29	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
30	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
31		lkrsc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
32	31	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
33		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g‘𝐷))
34	1, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33	lkrsc 39852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))
35		eqimss2 3997	. . 3 ⊢ ((𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
36	34, 35	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
37	28, 36	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3906  {csn 4590   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17493  LModclmod 20962  LVecclvec 21204  LFnlclfn 39812  LKerclk 39840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lvec 21205  df-lfl 39813  df-lkr 39841

This theorem is referenced by:  lfl1dim  39876  lfl1dim2N  39877  lkrss  39923