Theorem lkrscss 39054

Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lkrscss	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrsc.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3		lkrsc.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4		lkrsc.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lveclmod 21128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lkrsc.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8	1, 2, 3, 6, 7	lkrssv 39052	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
9		lkrsc.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10		lkrsc.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
11		lkrsc.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝐷)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
13	1, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7	lfl0sc 39038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
14	13	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
15		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})
16	9, 12, 1, 2	lfl0f 39025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹)
17	9, 12, 1, 2, 3	lkr0f 39050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
18	6, 16, 17	syl2anc2 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g‘𝐷)}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
19	15, 18	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g‘𝐷)})) = 𝑉)
20	14, 19	eqtr2d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
21	8, 20	sseqtrd 4049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
23		sneq 4658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → {𝑅} = {(0g‘𝐷)})
24	23	xpeq2d 5730	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))
25	24	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)})))
26	25	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝑅 = (0g‘𝐷) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
27	26	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {(0g‘𝐷)}))))
28	22, 27	sseqtrrd 4050	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 = (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
29	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
30	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
31		lkrsc.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ∈ 𝐾)
33		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g‘𝐷))
34	1, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33	lkrsc 39053	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))
35		eqimss2 4068	. . 3 ⊢ ((𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ≠ (0g‘𝐷)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))
37	28, 36	pm2.61dane 3035	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f · (𝑉 × {𝑅}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LVecclvec 21124  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lvec 21125  df-lfl 39014  df-lkr 39042

This theorem is referenced by:  lfl1dim  39077  lfl1dim2N  39078  lkrss  39124