Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrscss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrscss 39099
Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lkrscss (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrsc.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrsc.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4 lkrsc.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 21105 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lkrsc.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
81, 2, 3, 6, 7lkrssv 39097 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
9 lkrsc.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10 lkrsc.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐷)
11 lkrsc.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
131, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7lfl0sc 39083 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1413fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})))
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})
169, 12, 1, 2lfl0f 39070 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
179, 12, 1, 2, 3lkr0f 39095 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
186, 16, 17syl2anc2 585 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
1915, 18mpbiri 258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉)
2014, 19eqtr2d 2778 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
218, 20sseqtrd 4020 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2221adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
23 sneq 4636 . . . . . . 7 (𝑅 = (0g𝐷) → {𝑅} = {(0g𝐷)})
2423xpeq2d 5715 . . . . . 6 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2524oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2625fveq2d 6910 . . . 4 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2726adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2822, 27sseqtrrd 4021 . 2 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
294adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
307adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝐺𝐹)
31 lkrsc.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐾)
3231adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅𝐾)
33 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g𝐷))
341, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33lkrsc 39098 . . 3 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
35 eqimss2 4043 . . 3 ((𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
3634, 35syl 17 . 2 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
3728, 36pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  {csn 4626   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lvec 21102  df-lfl 39059  df-lkr 39087
This theorem is referenced by:  lfl1dim  39122  lfl1dim2N  39123  lkrss  39169
  Copyright terms: Public domain W3C validator