Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrscss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrscss 36674
 Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (The inclusion is proper for the zero product and equality otherwise.) (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lkrscss (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))

Proof of Theorem lkrscss
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrsc.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
3 lkrsc.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑊)
4 lkrsc.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19946 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lkrsc.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
81, 2, 3, 6, 7lkrssv 36672 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
9 lkrsc.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
10 lkrsc.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐷)
11 lkrsc.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
12 eqid 2758 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
131, 9, 2, 10, 11, 12, 6, 7lfl0sc 36658 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1413fveq2d 6662 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) = (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})))
15 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})
169, 12, 1, 2lfl0f 36645 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹)
179, 12, 1, 2, 3lkr0f 36670 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∈ 𝐹) → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
186, 16, 17syl2anc2 588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉 ↔ (𝑉 × {(0g𝐷)}) = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
1915, 18mpbiri 261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝑉 × {(0g𝐷)})) = 𝑉)
2014, 19eqtr2d 2794 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
218, 20sseqtrd 3932 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2221adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
23 sneq 4532 . . . . . . 7 (𝑅 = (0g𝐷) → {𝑅} = {(0g𝐷)})
2423xpeq2d 5554 . . . . . 6 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑅}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2524oveq2d 7166 . . . . 5 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) = (𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2625fveq2d 6662 . . . 4 (𝑅 = (0g𝐷) → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2726adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2822, 27sseqtrrd 3933 . 2 ((𝜑𝑅 = (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
294adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
307adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝐺𝐹)
31 lkrsc.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐾)
3231adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅𝐾)
33 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → 𝑅 ≠ (0g𝐷))
341, 9, 10, 11, 2, 3, 29, 30, 32, 12, 33lkrsc 36673 . . 3 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
35 eqimss2 3949 . . 3 ((𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
3634, 35syl 17 . 2 ((𝜑𝑅 ≠ (0g𝐷)) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
3728, 36pm2.61dane 3038 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858  {csn 4522   × cxp 5522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∘f cof 7403  Basecbs 16541  .rcmulr 16624  Scalarcsca 16626  0gc0g 16771  LModclmod 19702  LVecclvec 19942  LFnlclfn 36633  LKerclk 36661 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lvec 19943  df-lfl 36634  df-lkr 36662 This theorem is referenced by:  lfl1dim  36697  lfl1dim2N  36698  lkrss  36744
 Copyright terms: Public domain W3C validator