Theorem linply 49707

Description: A linear polynomial over a subset of the complex numbers is a polynomial over the subset of the complex numbers. (Contributed by AV, 31-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
linplyfv.p	⊢ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
linply	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem linply

Dummy variables 𝑐 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		oveq2 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (0...𝑛) = (0...1))
3	2	sumeq1d 15908	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
4	3	mpteq2dv 5203	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
5	4	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ↔ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
6		fveq1 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐‘𝑘) = (𝐶‘𝑘))
7	6	oveq1d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
8	7	a1d 26	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑘 ∈ (0...1) → ((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
9	8	ralrimiv 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ∀𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = ((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
10	9	sumeq2d 15909	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
11	10	mpteq2dv 5203	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
12	11	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))) ↔ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
13		1nn0 12660	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → 1 ∈ ℕ0)
15		cnex 11318	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
16	15	ssex 5287	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 ∈ V)
17		snex 5402	. . . . . . 7 ⊢ {0} ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → {0} ∈ V)
19	16, 18	unexd 7798	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
20		ssun1 4179	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
21		mapss 8953	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})) → (𝑆 ↑m ℕ0) ⊆ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
22	19, 20, 21	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (𝑆 ↑m ℕ0) ⊆ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
23	22	sselda 3913	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → 𝐶 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
24		linplyfv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
25	24	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
26	5, 12, 14, 23, 25	2rspcedvdw 3593	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27		elply 26557	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0)𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑐‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))))
28	1, 26, 27	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   · cmul 11242  ℕ₀cn0 12644  ...cfz 13677  ↑cexp 14242  Σcsu 15894  Polycply 26546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-fz 13678  df-seq 14183  df-sum 15895  df-ply 26550

This theorem is used by:  lazssaz  49724