Theorem lazssaz 49724

Description: A linear adjunction of a complex number to the ring of integers is a subset of the adjunction of the complex number to the ring of integers. (Contributed by AV, 31-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
lazssaz	⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (Z[]l‘𝑆) ⊆ (Z[]‘𝑆))

Proof of Theorem lazssaz

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑖 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellazim 49721	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
2	1	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
3		zsscn 12739	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
4		zex 12740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ℤ ∈ V)
6		nn0ex 12650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ℕ0 ∈ V)
8		ifcl 4531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏) ∈ ℤ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏) ∈ ℤ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏) ∈ ℤ)
11		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))
12	10, 11	fmptd 7144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏)):ℕ0⟶ℤ)
13	5, 7, 12	elmapdd 8897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏)) ∈ (ℤ ↑m ℕ0))
14		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖))) = (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))
15	14	linply 49707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏)) ∈ (ℤ ↑m ℕ0)) → (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖))) ∈ (Poly‘ℤ))
16	3, 13, 15	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖))) ∈ (Poly‘ℤ))
17		fveq1 6913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖))) → (𝑝‘𝑆) = ((𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))‘𝑆))
18	17	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖))) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝑝‘𝑆) ↔ (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = ((𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))‘𝑆)))
19	18	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ 𝑝 = (𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝑝‘𝑆) ↔ (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = ((𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))‘𝑆)))
20		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
21		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
22	14, 11	linply2cfv 49706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))‘𝑆) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
23	3, 20, 21, 22	mp3an2i 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))‘𝑆) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
24	23	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = ((𝑐 ∈ ℂ ↦ Σ𝑖 ∈ (0...1)(((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑎, 𝑏))‘𝑖) · (𝑐↑𝑖)))‘𝑆))
25	16, 19, 24	rspcedvd 3582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘ℤ)(𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝑝‘𝑆))
26		zsubrg 21770	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld))
28		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((RingSpan‘ℂfld)‘(ℤ ∪ {𝑆})) = ((RingSpan‘ℂfld)‘(ℤ ∪ {𝑆})))
29	27, 21, 28	rngunsnply 26682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ ((RingSpan‘ℂfld)‘(ℤ ∪ {𝑆})) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘ℤ)(𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝑝‘𝑆)))
30	25, 29	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ ((RingSpan‘ℂfld)‘(ℤ ∪ {𝑆})))
31		elaz 49711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]‘𝑆) ↔ (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ ((RingSpan‘ℂfld)‘(ℤ ∪ {𝑆}))))
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]‘𝑆) ↔ (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ ((RingSpan‘ℂfld)‘(ℤ ∪ {𝑆}))))
33	30, 32	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]‘𝑆))
34		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (𝑥 ∈ (Z[]‘𝑆) ↔ (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∈ (Z[]‘𝑆)))
35	33, 34	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑥 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Z[]‘𝑆)))
36	35	rexlimdvva 3223	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑥 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → 𝑥 ∈ (Z[]‘𝑆)))
37	2, 36	syld 48	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (Z[]l‘𝑆) → 𝑥 ∈ (Z[]‘𝑆)))
38	37	ssrdv 3919	1 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (Z[]l‘𝑆) ⊆ (Z[]‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242  ℕ₀cn0 12644  ℤcz 12731  ...cfz 13677  ↑cexp 14242  Σcsu 15894  SubRingcsubrg 20863  RingSpancrgspn 20904  ℂ_fldccnfld 21720  Polycply 26546  Z[]caz 49708  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316  ax-mulf 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-subg 19374  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-subrng 20840  df-subrg 20864  df-rgspn 20905  df-cnfld 21721  df-0p 26035  df-ply 26550  df-idp 26551  df-coe 26552  df-dgr 26553  df-az 49709  df-laz 49718

This theorem is used by: (None)