Theorem linply2cfv 49706

Description: The evaluation of a linear polynomial over a subset of the complex numbers with explicit coefficients at a complex number. (Contributed by AV, 31-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
linplyfv.p	⊢ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
linplyfv2.c	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
linply2cfv	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧, 𝑘)   𝐵(𝑧, 𝑘)   𝐶(𝑥)   𝑃(𝑥, 𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem linply2cfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11318	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	ssex 5287	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 ∈ V)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ V)
4		nn0ex 12650	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ℕ0 ∈ V)
6		ifcl 4531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝑆)
7	6	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝑆)
9		linplyfv2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵))
10	8, 9	fmptd 7144	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐶:ℕ0⟶𝑆)
11	3, 5, 10	elmapdd 8897	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0))
12		linplyfv.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...1)((𝐶‘𝑘) · (𝑧↑𝑘)))
13	12	linplyfv 49705	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ∈ (𝑆 ↑m ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))
14	11, 13	syld3an2 1439	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)))
15	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 𝐶 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵)))
16		iftrue 4491	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
18		0nn0 12659	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 0 ∈ ℕ0)
20		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
21	15, 17, 19, 20	fvmptd 7030	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐶‘0) = 𝐴)
22		ax-1ne0 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
23	22	neii 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 = 0
24		eqeq1 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = 0 ↔ 1 = 0))
25	23, 24	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → ¬ 𝑥 = 0)
26	25	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 = 1) → ¬ 𝑥 = 0)
27	26	iffalsed 4496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 = 1) → if(𝑥 = 0, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
28		1nn0 12660	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 1 ∈ ℕ0)
30		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
31	15, 27, 29, 30	fvmptd 7030	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐶‘1) = 𝐵)
32	31	oveq1d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝐶‘1) · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋))
33	21, 32	oveq12d 7467	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑋)))
34	33	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝐶‘0) + ((𝐶‘1) · 𝑋)) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑋)))
35	14, 34	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃‘𝑋) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  ℂcc 11235  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242  ℕ₀cn0 12644  ...cfz 13677  ↑cexp 14242  Σcsu 15894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895

This theorem is used by:  lazssaz  49724