Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22e22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22e22 32442
Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
lmat22.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
lmat22.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
lmat22.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22e22 (πœ‘ β†’ (2𝑀2) = 𝐷)

Proof of Theorem lmat22e22
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22.m . 2 𝑀 = (litMatβ€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©)
2 2nn 12233 . . 3 2 ∈ β„•
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
4 lmat22.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5 lmat22.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
64, 5s2cld 14767 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
7 lmat22.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
8 lmat22.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
97, 8s2cld 14767 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word 𝑉)
106, 9s2cld 14767 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word Word 𝑉)
11 s2len 14785 . . 3 (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©) = 2)
131, 4, 5, 7, 8lmat22lem 32438 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) β†’ (β™―β€˜(βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜π‘–)) = 2)
14 1nn0 12436 . 2 1 ∈ β„•0
152nnrei 12169 . . 3 2 ∈ ℝ
1615leidi 11696 . 2 2 ≀ 2
17 1p1e2 12285 . 2 (1 + 1) = 2
18 s2cli 14776 . . 3 βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word V
19 s2fv1 14784 . . 3 (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ© ∈ Word V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©)
2018, 19ax-mp 5 . 2 (βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ©βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€βŸ©β€˜1) = βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©
21 s2fv1 14784 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€˜1) = 𝐷)
228, 21syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œπΆπ·β€βŸ©β€˜1) = 𝐷)
231, 3, 10, 12, 13, 14, 14, 16, 16, 17, 17, 20, 22lmatfvlem 32436 1 (πœ‘ β†’ (2𝑀2) = 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  β„•cn 12160  2c2 12215  β™―chash 14237  Word cword 14409  βŸ¨β€œcs2 14737  litMatclmat 32432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-lmat 32433
This theorem is referenced by:  lmat22det  32443
  Copyright terms: Public domain W3C validator