Theorem lmat22e21 33810

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e21	⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)

Proof of Theorem lmat22e21

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12259	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14837	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14855	. . 3 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 33807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		1nn0 12458	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12457	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	2	nnrei 12195	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	leidi 11712	. 2 ⊢ 2 ≤ 2
18		1le2 12390	. 2 ⊢ 1 ≤ 2
19		1p1e2 12306	. 2 ⊢ (1 + 1) = 2
20		0p1e1 12303	. 2 ⊢ (0 + 1) = 1
21		s2cli 14846	. . 3 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
22		s2fv1 14854	. . 3 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩
24		s2fv0 14853	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐶)
25	7, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐶)
26	1, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 23, 25	lmatfvlem 33805	1 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ℕcn 12186  2c2 12241  ♯chash 14295  Word cword 14478  ⟨“cs2 14807  litMatclmat 33801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561  df-s2 14814  df-lmat 33802

This theorem is referenced by:  lmat22det  33812