Theorem lmat22e21 34078

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e21	⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)

Proof of Theorem lmat22e21

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14878	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14878	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14878	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14896	. . 3 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 34075	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		1nn0 12491	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12490	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	2	nnrei 12213	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	leidi 11715	. 2 ⊢ 2 ≤ 2
18		1le2 12423	. 2 ⊢ 1 ≤ 2
19		1p1e2 12335	. 2 ⊢ (1 + 1) = 2
20		0p1e1 12332	. 2 ⊢ (0 + 1) = 1
21		s2cli 14887	. . 3 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
22		s2fv1 14895	. . 3 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩
24		s2fv0 14894	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐶)
25	7, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐶)
26	1, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 23, 25	lmatfvlem 34073	1 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068  ℕcn 12204  2c2 12266  ♯chash 14337  Word cword 14520  ⟨“cs2 14848  litMatclmat 34069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-hash 14338  df-word 14521  df-concat 14578  df-s1 14604  df-s2 14855  df-lmat 34070

This theorem is referenced by:  lmat22det  34080