Theorem lmat22e21 33783

Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmat22.m	⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
lmat22.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
lmat22.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
lmat22.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmat22e21	⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)

Proof of Theorem lmat22e21

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmat22.m	. 2 ⊢ 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2		2nn 12235	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4		lmat22.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		lmat22.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
6	4, 5	s2cld 14813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7		lmat22.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
8		lmat22.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
9	7, 8	s2cld 14813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	6, 9	s2cld 14813	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11		s2len 14831	. . 3 ⊢ (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
13	1, 4, 5, 7, 8	lmat22lem 33780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^2)) → (♯‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14		1nn0 12434	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		0nn0 12433	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	2	nnrei 12171	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	leidi 11688	. 2 ⊢ 2 ≤ 2
18		1le2 12366	. 2 ⊢ 1 ≤ 2
19		1p1e2 12282	. 2 ⊢ (1 + 1) = 2
20		0p1e1 12279	. 2 ⊢ (0 + 1) = 1
21		s2cli 14822	. . 3 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V
22		s2fv1 14830	. . 3 ⊢ (⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word V → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩)
23	21, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘1) = ⟨“𝐶𝐷”⟩
24		s2fv0 14829	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐶)
25	7, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐷”⟩‘0) = 𝐶)
26	1, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 23, 25	lmatfvlem 33778	1 ⊢ (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045  ℕcn 12162  2c2 12217  ♯chash 14271  Word cword 14454  ⟨“cs2 14783  litMatclmat 33774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-s2 14790  df-lmat 33775

This theorem is referenced by:  lmat22det  33785