Theorem lindssnlvec 49737

Description: A singleton not containing the zero element of a vector space is always linearly independent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindssnlvec	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → {𝑆} linIndS 𝑀)

Proof of Theorem lindssnlvec

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4752	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) → 𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)))
3		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑆 ≠ (0g‘𝑀))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
10		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑀 ∈ LVec)
11		eldifi 4069	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) → 𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑆 ∈ (Base‘𝑀))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	lvecvsn0 21399	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → ((𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀))))
15	2, 3, 14	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀))
16	15	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀))
17		lveclmod 21393	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
18	17	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)))
19	18	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)))
20	4, 6, 7, 8, 9, 5	snlindsntor 49722	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)) → (∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ {𝑆} linIndS 𝑀))
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → (∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ {𝑆} linIndS 𝑀))
22	16, 21	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → {𝑆} linIndS 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 4047  {csn 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  0_gc0g 17622  LModclmod 21147  LVecclvec 21389   linIndS clininds 49691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lvec 21390  df-linc 49657  df-lininds 49693

This theorem is used by: (None)