Theorem lindssnlvec 49117

Description: A singleton not containing the zero element of a vector space is always linearly independent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindssnlvec	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → {𝑆} linIndS 𝑀)

Proof of Theorem lindssnlvec

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4753	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) → 𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)))
2	1	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)))
3		simpl3 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑆 ≠ (0g‘𝑀))
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
10		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑀 ∈ LVec)
11		eldifi 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) → 𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
12	11	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13		simpl2 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑆 ∈ (Base‘𝑀))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	lvecvsn0 21202	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → ((𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀))))
15	2, 3, 14	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀))
16	15	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀))
17		lveclmod 21196	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
18	17	anim1i 626	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)))
19	18	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)))
20	4, 6, 7, 8, 9, 5	snlindsntor 49102	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)) → (∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ {𝑆} linIndS 𝑀))
21	19, 20	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → (∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ {𝑆} linIndS 𝑀))
22	16, 21	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → {𝑆} linIndS 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  LModclmod 20950  LVecclvec 21192   linIndS clininds 49071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-drng 20806  df-lmod 20952  df-lvec 21193  df-linc 49037  df-lininds 49073

This theorem is referenced by: (None)