Theorem lindssnlvec 48728

Description: A singleton not containing the zero element of a vector space is always linearly independent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindssnlvec	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → {𝑆} linIndS 𝑀)

Proof of Theorem lindssnlvec

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 4746	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) → 𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)))
3		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑆 ≠ (0g‘𝑀))
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑀)) = (0g‘(Scalar‘𝑀))
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
10		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑀 ∈ LVec)
11		eldifi 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))}) → 𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑠 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)))
13		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → 𝑆 ∈ (Base‘𝑀))
14	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13	lvecvsn0 21064	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → ((𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ (𝑠 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀))))
15	2, 3, 14	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})) → (𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀))
16	15	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀))
17		lveclmod 21058	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
18	17	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)))
19	18	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)))
20	4, 6, 7, 8, 9, 5	snlindsntor 48713	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀)) → (∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ {𝑆} linIndS 𝑀))
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → (∀𝑠 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑀))})(𝑠( ·𝑠 ‘𝑀)𝑆) ≠ (0g‘𝑀) ↔ {𝑆} linIndS 𝑀))
22	16, 21	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑆 ≠ (0g‘𝑀)) → {𝑆} linIndS 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  LModclmod 20811  LVecclvec 21054   linIndS clininds 48682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lvec 21055  df-linc 48648  df-lininds 48684

This theorem is referenced by: (None)