Theorem hashxp 14426

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
hashxp	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq2 5699	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅)))
2	1	fveq2d 6901	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))
3		fveq2 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅)))
4	3	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))
5	2, 4	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → ((♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)) ↔ (♯‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))) = ((♯‘𝐴) · (♯‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅)))))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → ((𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))) = ((♯‘𝐴) · (♯‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))))
7		0fin 9196	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
8	7	elimel 4598	. . . 4 ⊢ if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) ∈ Fin
9	8	hashxplem 14425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))) = ((♯‘𝐴) · (♯‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))
10	6, 9	dedth 4587	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵))))
11	10	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4323  ifcif 4529   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964   · cmul 11144  ♯chash 14322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323

This theorem is referenced by:  hashmap  14427  ackbijnn  15807  crth  16747  phimullem  16748  prmreclem3  16887  lsmhash  19660  lgsquadlem3  27328  numclwwlk1  30184  hashxpe  32589  matdim  33313  ccatmulgnn0dir  34174  ofcccat  34175  lpadlem2  34312  erdszelem10  34810  poimirlem26  37119  aks6d1c2  41601  frlmvscadiccat  41746