MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindp3 20749
Description: Independence of 2 vectors is preserved by vector sum. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspindp3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspindp3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspindp3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspindp3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspindp3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lspindp3.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspindp3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))

Proof of Theorem lspindp3
StepHypRef Expression
1 lspindp3.e . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2 lspindp3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspindp3.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 lspindp3.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 lspindp3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 lspindp3.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspindp3.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lspindp3.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
12 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
132, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12lspabs2 20733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1413ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
1514necon3d 2962 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
161, 15mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  LSpanclspn 20582  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  mapdindp4  40594  hdmaprnlem3uN  40722
  Copyright terms: Public domain W3C validator