MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindp3 21031
Description: Independence of 2 vectors is preserved by vector sum. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspindp3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lspindp3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspindp3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspindp3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspindp3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lspindp3.e (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lspindp3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))

Proof of Theorem lspindp3
StepHypRef Expression
1 lspindp3.e . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
2 lspindp3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lspindp3.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
4 lspindp3.o . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 lspindp3.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
6 lspindp3.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
76adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
8 lspindp3.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lspindp3.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
12 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
132, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12lspabs2 21015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1413ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ})))
1514necon3d 2958 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
161, 15mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995
This theorem is referenced by:  mapdindp4  41228  hdmaprnlem3uN  41356
  Copyright terms: Public domain W3C validator