Theorem lspindp3 19908

Description: Independence of 2 vectors is preserved by vector sum. (Contributed by NM, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lspindp3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspindp3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindp3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp3.e	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp3	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Proof of Theorem lspindp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp3.e	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2		lspindp3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lspindp3.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4		lspindp3.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		lspindp3.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspindp3.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑊 ∈ LVec)
8		lspindp3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lspindp3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))
13	2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 12	lspabs2 19892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
14	13	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
15	14	necon3d 3037	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)})))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3933  {csn 4567  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875

This theorem is referenced by:  mapdindp4  38874  hdmaprnlem3uN  39002