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Theorem coeaddlem 25770
Description: Lemma for coeadd 25772 and dgradd 25788. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coeadd.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
coeadd.3 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
coeadd.4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coeaddlem ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = (𝐴 ∘f + 𝐡) ∧ (degβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem coeaddlem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyaddcl 25741 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2 coeadd.4 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
3 dgrcl 25754 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
42, 3eqeltrid 2837 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
54adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 coeadd.3 . . . . . 6 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
7 dgrcl 25754 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
86, 7eqeltrid 2837 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
98adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
105, 9ifcld 4574 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0)
11 addcl 11194 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1211adantl 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
13 coefv0.1 . . . . . 6 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
1413coef3 25753 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
16 coeadd.2 . . . . . 6 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
1716coef3 25753 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
1817adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
19 nn0ex 12480 . . . . 5 β„•0 ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ β„•0 ∈ V)
21 inidm 4218 . . . 4 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
2212, 15, 18, 20, 20, 21off 7690 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚)
23 oveq12 7420 . . . . . . . . . 10 (((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) = (0 + 0))
24 00id 11391 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2523, 24eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) = 0)
2615ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
2718ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐡 Fn β„•0)
28 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
29 eqidd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
3026, 27, 20, 20, 21, 28, 29ofval 7683 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)))
3130eqeq1d 2734 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = 0 ↔ ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) = 0))
3225, 31imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = 0))
3332necon3ad 2953 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ Β¬ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0)))
34 neorian 3037 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ∨ (π΅β€˜π‘˜) β‰  0) ↔ Β¬ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0))
3533, 34imbitrrdi 251 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ∨ (π΅β€˜π‘˜) β‰  0)))
3613, 6dgrub2 25756 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
3736adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
38 plyco0 25713 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)))
399, 15, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)))
4037, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
4140r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
429adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4342nn0red 12535 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
445adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4544nn0red 12535 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
46 max1 13166 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
4743, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
48 nn0re 12483 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5010adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0)
5150nn0red 12535 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℝ)
52 letr 11310 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5349, 43, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5447, 53mpan2d 692 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑀 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5541, 54syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5616, 2dgrub2 25756 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
5756adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
58 plyco0 25713 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
595, 18, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
6057, 59mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
6160r19.21bi 3248 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
62 max2 13168 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
6343, 45, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
64 letr 11310 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6549, 45, 51, 64syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6663, 65mpan2d 692 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6761, 66syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6855, 67jaod 857 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ∨ (π΅β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6935, 68syld 47 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
7069ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
71 plyco0 25713 . . . . 5 ((if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜(if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
7210, 22, 71syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜(if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
7370, 72mpbird 256 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜(if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) + 1))) = {0})
74 simpl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
75 simpr 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7613, 6coeid 25759 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7776adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7816, 2coeid 25759 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7978adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
8074, 75, 9, 5, 15, 18, 37, 57, 77, 79plyaddlem1 25734 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
811, 10, 22, 73, 80coeeq 25748 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = (𝐴 ∘f + 𝐡))
82 elfznn0 13596 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
83 ffvelcdm 7083 . . . 4 (((𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8422, 82, 83syl2an 596 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
851, 10, 84, 80dgrle 25764 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
8681, 85jca 512 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = (𝐴 ∘f + 𝐡) ∧ (degβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   ≀ cle 11251  β„•0cn0 12474  β„€β‰₯cuz 12824  ...cfz 13486  β†‘cexp 14029  Ξ£csu 15634  Polycply 25705  coeffccoe 25707  degcdgr 25708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-0p 25194  df-ply 25709  df-coe 25711  df-dgr 25712
This theorem is referenced by:  coeadd  25772  dgradd  25788
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