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Theorem coeaddlem 25763
Description: Lemma for coeadd 25765 and dgradd 25781. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coeadd.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
coeadd.3 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
coeadd.4 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coeaddlem ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = (𝐴 ∘f + 𝐡) ∧ (degβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem coeaddlem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyaddcl 25734 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ (Polyβ€˜β„‚))
2 coeadd.4 . . . . . 6 𝑁 = (degβ€˜πΊ)
3 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) ∈ β„•0)
42, 3eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
54adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
6 coeadd.3 . . . . . 6 𝑀 = (degβ€˜πΉ)
7 dgrcl 25747 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
86, 7eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
98adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
105, 9ifcld 4575 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0)
11 addcl 11192 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1211adantl 483 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
13 coefv0.1 . . . . . 6 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
1413coef3 25746 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1514adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
16 coeadd.2 . . . . . 6 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
1716coef3 25746 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
1817adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚)
19 nn0ex 12478 . . . . 5 β„•0 ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ β„•0 ∈ V)
21 inidm 4219 . . . 4 (β„•0 ∩ β„•0) = β„•0
2212, 15, 18, 20, 20, 21off 7688 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚)
23 oveq12 7418 . . . . . . . . . 10 (((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) = (0 + 0))
24 00id 11389 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2523, 24eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) = 0)
2615ffnd 6719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴 Fn β„•0)
2718ffnd 6719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐡 Fn β„•0)
28 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
29 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
3026, 27, 20, 20, 21, 28, 29ofval 7681 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)))
3130eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = 0 ↔ ((π΄β€˜π‘˜) + (π΅β€˜π‘˜)) = 0))
3225, 31imbitrrid 245 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) = 0))
3332necon3ad 2954 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ Β¬ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0)))
34 neorian 3038 . . . . . . 7 (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ∨ (π΅β€˜π‘˜) β‰  0) ↔ Β¬ ((π΄β€˜π‘˜) = 0 ∧ (π΅β€˜π‘˜) = 0))
3533, 34syl6ibr 252 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ∨ (π΅β€˜π‘˜) β‰  0)))
3613, 6dgrub2 25749 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
3736adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0})
38 plyco0 25706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)))
399, 15, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)))
4037, 39mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
4140r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑀))
429adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4342nn0red 12533 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
445adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4544nn0red 12533 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
46 max1 13164 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
4743, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
48 nn0re 12481 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
5010adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0)
5150nn0red 12533 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℝ)
52 letr 11308 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5349, 43, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5447, 53mpan2d 693 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑀 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5541, 54syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5616, 2dgrub2 25749 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
5756adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
58 plyco0 25706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐡:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
595, 18, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐡 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
6057, 59mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
6160r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
62 max2 13166 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
6343, 45, 62syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
64 letr 11308 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℝ) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6549, 45, 51, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑁 ∧ 𝑁 ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6663, 65mpan2d 693 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6761, 66syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΅β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6855, 67jaod 858 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ∨ (π΅β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6935, 68syld 47 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
7069ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
71 plyco0 25706 . . . . 5 ((if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜(if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
7210, 22, 71syl2anc 585 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (((𝐴 ∘f + 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜(if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
7370, 72mpbird 257 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡) β€œ (β„€β‰₯β€˜(if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀) + 1))) = {0})
74 simpl 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
75 simpr 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†))
7613, 6coeid 25752 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7776adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑀)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7816, 2coeid 25752 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
7978adantl 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
8074, 75, 9, 5, 15, 18, 37, 57, 77, 79plyaddlem1 25727 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
811, 10, 22, 73, 80coeeq 25741 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (coeffβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = (𝐴 ∘f + 𝐡))
82 elfznn0 13594 . . . 4 (π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
83 ffvelcdm 7084 . . . 4 (((𝐴 ∘f + 𝐡):β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8422, 82, 83syl2an 597 . . 3 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) ∧ π‘˜ ∈ (0...if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) β†’ ((𝐴 ∘f + 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
851, 10, 84, 80dgrle 25757 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (degβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
8681, 85jca 513 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ ((coeffβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = (𝐴 ∘f + 𝐡) ∧ (degβ€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ≀ if(𝑀 ≀ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by:  coeadd  25765  dgradd  25781
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