Theorem sgrpnmndex 18866

Description: There is a semigroup which is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sgrpnmndex	⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Proof of Theorem sgrpnmndex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14371	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
3		prex 5395	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ∈ V
4		eqeq1 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
5	4	ifbid 4515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
6		eqidd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if(𝑢 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
7	5, 6	cbvmpov 7487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
8	7	opeq2i 4844	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩
9	8	preq2i 4704	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩}
10	9	grpbase 17259	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
12	11	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = {0, 1}
13	3, 3	mpoex 8061	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V
14	9	grpplusg 17260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
16	15	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
17	2, 12, 16	sgrp2nmndlem4 18862	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∈ Smgrp)
18		neleq1 3036	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
20	2, 12, 16	sgrp2nmndlem5 18863	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd)
21	17, 19, 20	rspcedvd 3593	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3030  ∃wrex 3054  Vcvv 3450  ifcif 4491  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12248  ♯chash 14302  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Smgrpcsgrp 18652  Mndcmnd 18668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669

This theorem is referenced by:  mndsssgrp  18868