Theorem sgrpnmndex 18969

Description: There is a semigroup which is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sgrpnmndex	⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Proof of Theorem sgrpnmndex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14412	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
3		prex 5395	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ∈ V
4		eqeq1 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
5	4	ifbid 4504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
6		eqidd 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if(𝑢 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
7	5, 6	cbvmpov 7491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
8	7	opeq2i 4835	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩
9	8	preq2i 4696	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩}
10	9	grpbase 17318	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
12	11	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = {0, 1}
13	3, 3	mpoex 8060	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V
14	9	grpplusg 17319	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
16	15	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
17	2, 12, 16	sgrp2nmndlem4 18965	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∈ Smgrp)
18		neleq1 3067	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
19	18	adantl 485	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
20	2, 12, 16	sgrp2nmndlem5 18966	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd)
21	17, 19, 20	rspcedvd 3583	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086  Vcvv 3454  ifcif 4480  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6521   ∈ cmpo 7398  0cc0 11073  1c1 11074  2c2 12272  ♯chash 14343  ndxcnx 17229  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Smgrpcsgrp 18752  Mndcmnd 18768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344  df-struct 17183  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769

This theorem is referenced by:  mndsssgrp  18971