Theorem sgrpnmndex 18903

Description: There is a semigroup which is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sgrpnmndex	⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Proof of Theorem sgrpnmndex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14361	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
3		prex 5380	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ∈ V
4		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
5	4	ifbid 4490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
6		eqidd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if(𝑢 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
7	5, 6	cbvmpov 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
8	7	opeq2i 4820	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩
9	8	preq2i 4681	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩}
10	9	grpbase 17252	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
12	11	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = {0, 1}
13	3, 3	mpoex 8032	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V
14	9	grpplusg 17253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
16	15	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
17	2, 12, 16	sgrp2nmndlem4 18899	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∈ Smgrp)
18		neleq1 3042	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
20	2, 12, 16	sgrp2nmndlem5 18900	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd)
21	17, 19, 20	rspcedvd 3566	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3036  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ifcif 4466  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498   ∈ cmpo 7369  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  ♯chash 14292  ndxcnx 17163  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Smgrpcsgrp 18686  Mndcmnd 18702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703

This theorem is referenced by:  mndsssgrp  18905