Theorem sgrpnmndex 18945

Description: There is a semigroup which is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sgrpnmndex	⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Proof of Theorem sgrpnmndex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14438	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
3		prex 5437	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ∈ V
4		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
5	4	ifbid 4549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
6		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if(𝑢 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
7	5, 6	cbvmpov 7528	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
8	7	opeq2i 4877	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩
9	8	preq2i 4737	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩}
10	9	grpbase 17330	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
12	11	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = {0, 1}
13	3, 3	mpoex 8104	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V
14	9	grpplusg 17332	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
16	15	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
17	2, 12, 16	sgrp2nmndlem4 18941	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∈ Smgrp)
18		neleq1 3052	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
20	2, 12, 16	sgrp2nmndlem5 18942	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd)
21	17, 19, 20	rspcedvd 3624	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  ∃wrex 3070  Vcvv 3480  ifcif 4525  {cpr 4628  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561   ∈ cmpo 7433  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  ♯chash 14369  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Smgrpcsgrp 18731  Mndcmnd 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748

This theorem is referenced by:  mndsssgrp  18947