Theorem sgrpnmndex 19131

Description: There is a semigroup which is not a monoid. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sgrpnmndex	⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

Proof of Theorem sgrpnmndex

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prhash2ex 14543	. 2 ⊢ (♯‘{0, 1}) = 2
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {0, 1} = {0, 1}
3		prex 5396	. . . . . 6 ⊢ {0, 1} ∈ V
4		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
5	4	ifbid 4506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → if(𝑥 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
6		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → if(𝑢 = 0, 0, 1) = if(𝑢 = 0, 0, 1))
7	5, 6	cbvmpov 7515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
8	7	opeq2i 4837	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩
9	8	preq2i 4698	. . . . . . 7 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))⟩}
10	9	grpbase 17460	. . . . . 6 ⊢ ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
11	3, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
12	11	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = {0, 1}
13	3, 3	mpoex 8092	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V
14	9	grpplusg 17461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩})
16	15	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑢 = 0, 0, 1))
17	2, 12, 16	sgrp2nmndlem4 19127	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∈ Smgrp)
18		neleq1 3068	. . . 4 ⊢ (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
19	18	adantl 487	. . 3 ⊢ (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩}) → (𝑚 ∉ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd))
20	2, 12, 16	sgrp2nmndlem5 19128	. . 3 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if(𝑥 = 0, 0, 1))⟩} ∉ Mnd)
21	17, 19, 20	rspcedvd 3579	. 2 ⊢ ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd)
22	1, 21	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑚 ∈ Smgrp 𝑚 ∉ Mnd

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  ifcif 4482  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ‘cfv 6538   ∈ cmpo 7422  0cc0 11200  1c1 11201  2c2 12397  ♯chash 14474  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Smgrpcsgrp 18907  Mndcmnd 18923

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924

This theorem is used by:  mndsssgrp  19133