Theorem mvhf1 32002

Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf1	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Proof of Theorem mvhf1

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mvhf.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
4	1, 2, 3	mvhf 32001	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
5		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
6	1, 5, 3	mvhval 31977	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
7	1, 5, 3	mvhval 31977	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
8	6, 7	eqeqan12d 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
9	8	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10		fvex 6446	. . . . . . 7 ⊢ ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11		s1cli 13665	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
12	11	elexi 3430	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
13	10, 12	opth 5165	. . . . . 6 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
14	13	simprbi 492	. . . . 5 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15		s111 13675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
16	15	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	14, 16	syl5ib 236	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
18	9, 17	sylbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
19	18	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20		dff13 6767	. 2 ⊢ (𝐻:𝑉–1-1→𝐸 ↔ (𝐻:𝑉⟶𝐸 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
21	4, 19, 20	sylanbrc 580	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117  Vcvv 3414  ⟨cop 4403  ⟶wf 6119  –1-1→wf1 6120  ‘cfv 6123  Word cword 13574  ⟨“cs1 13655  mVRcmvar 31904  mTypecmty 31905  mExcmex 31910  mVHcmvh 31915  mFScmfs 31919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-s1 13656  df-mrex 31929  df-mex 31930  df-mvh 31935  df-mfs 31939

This theorem is referenced by: (None)