Theorem mvhf1 35581

Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf1	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Proof of Theorem mvhf1

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mvhf.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
4	1, 2, 3	mvhf 35580	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
5		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
6	1, 5, 3	mvhval 35556	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
7	1, 5, 3	mvhval 35556	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
8	6, 7	eqeqan12d 2749	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11		s1cli 14623	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
12	11	elexi 3482	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
13	10, 12	opth 5451	. . . . . 6 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
14	13	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15		s111 14633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	14, 16	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
18	9, 17	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
19	18	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20		dff13 7247	. 2 ⊢ (𝐻:𝑉–1-1→𝐸 ↔ (𝐻:𝑉⟶𝐸 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
21	4, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  ⟨cop 4607  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  Word cword 14531  ⟨“cs1 14613  mVRcmvar 35483  mTypecmty 35484  mExcmex 35489  mVHcmvh 35494  mFScmfs 35498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-s1 14614  df-mrex 35508  df-mex 35509  df-mvh 35514  df-mfs 35518

This theorem is referenced by: (None)