Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mvhf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvhf1 35564
Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvhf.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mvhf1 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉1-1𝐸)

Proof of Theorem mvhf1
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvhf.v . . 3 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 mvhf.e . . 3 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3 mvhf.h . . 3 𝐻 = (mVH‘𝑇)
41, 2, 3mvhf 35563 . 2 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉𝐸)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
61, 5, 3mvhval 35539 . . . . . 6 (𝑣𝑉 → (𝐻𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
71, 5, 3mvhval 35539 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝐻𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
86, 7eqeqan12d 2751 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑤𝑉) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
98adantl 481 . . . 4 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10 fvex 6919 . . . . . . 7 ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11 s1cli 14643 . . . . . . . 8 ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
1211elexi 3503 . . . . . . 7 ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
1310, 12opth 5481 . . . . . 6 (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
1413simprbi 496 . . . . 5 (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15 s111 14653 . . . . . 6 ((𝑣𝑉𝑤𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
1615adantl 481 . . . . 5 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
1714, 16imbitrid 244 . . . 4 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
189, 17sylbid 240 . . 3 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
1918ralrimivva 3202 . 2 (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣𝑉𝑤𝑉 ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20 dff13 7275 . 2 (𝐻:𝑉1-1𝐸 ↔ (𝐻:𝑉𝐸 ∧ ∀𝑣𝑉𝑤𝑉 ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
214, 19, 20sylanbrc 583 1 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉1-1𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cop 4632  wf 6557  1-1wf1 6558  cfv 6561  Word cword 14552  ⟨“cs1 14633  mVRcmvar 35466  mTypecmty 35467  mExcmex 35472  mVHcmvh 35477  mFScmfs 35481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-s1 14634  df-mrex 35491  df-mex 35492  df-mvh 35497  df-mfs 35501
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator