Theorem mvhf1 35603

Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf1	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Proof of Theorem mvhf1

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mvhf.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
4	1, 2, 3	mvhf 35602	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
6	1, 5, 3	mvhval 35578	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
7	1, 5, 3	mvhval 35578	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
8	6, 7	eqeqan12d 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10		fvex 6835	. . . . . . 7 ⊢ ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11		s1cli 14513	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
12	11	elexi 3459	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
13	10, 12	opth 5414	. . . . . 6 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
14	13	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15		s111 14523	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	14, 16	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
18	9, 17	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
19	18	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20		dff13 7188	. 2 ⊢ (𝐻:𝑉–1-1→𝐸 ↔ (𝐻:𝑉⟶𝐸 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
21	4, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ⟨cop 4579  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478  ‘cfv 6481  Word cword 14420  ⟨“cs1 14503  mVRcmvar 35505  mTypecmty 35506  mExcmex 35511  mVHcmvh 35516  mFScmfs 35520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-s1 14504  df-mrex 35530  df-mex 35531  df-mvh 35536  df-mfs 35540

This theorem is referenced by: (None)