Theorem mvhf1 35564

Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvhf.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e	⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h	⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mvhf1	⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Proof of Theorem mvhf1

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvhf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2		mvhf.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3		mvhf.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (mVH‘𝑇)
4	1, 2, 3	mvhf 35563	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉⟶𝐸)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
6	1, 5, 3	mvhval 35539	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
7	1, 5, 3	mvhval 35539	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑉 → (𝐻‘𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
8	6, 7	eqeqan12d 2751	. . . . 5 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11		s1cli 14643	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
12	11	elexi 3503	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
13	10, 12	opth 5481	. . . . . 6 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
14	13	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15		s111 14653	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
17	14, 16	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
18	9, 17	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉)) → ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
19	18	ralrimivva 3202	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20		dff13 7275	. 2 ⊢ (𝐻:𝑉–1-1→𝐸 ↔ (𝐻:𝑉⟶𝐸 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝐻‘𝑣) = (𝐻‘𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
21	4, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉–1-1→𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  ⟨cop 4632  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561  Word cword 14552  ⟨“cs1 14633  mVRcmvar 35466  mTypecmty 35467  mExcmex 35472  mVHcmvh 35477  mFScmfs 35481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-s1 14634  df-mrex 35491  df-mex 35492  df-mvh 35497  df-mfs 35501

This theorem is referenced by: (None)