Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mvhf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvhf1 31998
Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvhf.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mvhf.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mvhf.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mvhf1 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉1-1𝐸)

Proof of Theorem mvhf1
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvhf.v . . 3 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 mvhf.e . . 3 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3 mvhf.h . . 3 𝐻 = (mVH‘𝑇)
41, 2, 3mvhf 31997 . 2 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉𝐸)
5 eqid 2825 . . . . . . 7 (mType‘𝑇) = (mType‘𝑇)
61, 5, 3mvhval 31973 . . . . . 6 (𝑣𝑉 → (𝐻𝑣) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩)
71, 5, 3mvhval 31973 . . . . . 6 (𝑤𝑉 → (𝐻𝑤) = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩)
86, 7eqeqan12d 2841 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑤𝑉) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
98adantl 475 . . . 4 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) ↔ ⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩))
10 fvex 6450 . . . . . . 7 ((mType‘𝑇)‘𝑣) ∈ V
11 s1cli 13672 . . . . . . . 8 ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word V
1211elexi 3430 . . . . . . 7 ⟨“𝑣”⟩ ∈ V
1310, 12opth 5167 . . . . . 6 (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ ↔ (((mType‘𝑇)‘𝑣) = ((mType‘𝑇)‘𝑤) ∧ ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩))
1413simprbi 492 . . . . 5 (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩)
15 s111 13682 . . . . . 6 ((𝑣𝑉𝑤𝑉) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
1615adantl 475 . . . . 5 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → (⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑤”⟩ ↔ 𝑣 = 𝑤))
1714, 16syl5ib 236 . . . 4 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → (⟨((mType‘𝑇)‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩⟩ = ⟨((mType‘𝑇)‘𝑤), ⟨“𝑤”⟩⟩ → 𝑣 = 𝑤))
189, 17sylbid 232 . . 3 ((𝑇 ∈ mFS ∧ (𝑣𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
1918ralrimivva 3180 . 2 (𝑇 ∈ mFS → ∀𝑣𝑉𝑤𝑉 ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤))
20 dff13 6772 . 2 (𝐻:𝑉1-1𝐸 ↔ (𝐻:𝑉𝐸 ∧ ∀𝑣𝑉𝑤𝑉 ((𝐻𝑣) = (𝐻𝑤) → 𝑣 = 𝑤)))
214, 19, 20sylanbrc 578 1 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉1-1𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  Vcvv 3414  cop 4405  wf 6123  1-1wf1 6124  cfv 6127  Word cword 13581  ⟨“cs1 13662  mVRcmvar 31900  mTypecmty 31901  mExcmex 31906  mVHcmvh 31911  mFScmfs 31915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-s1 13663  df-mrex 31925  df-mex 31926  df-mvh 31931  df-mfs 31935
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator