Theorem congrep 44073

Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem congrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodfz 14036	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
2	1	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
3		nnz 12717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zmodcl 14034	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ)
9		zre 12700	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnrp 13135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		moddifz 14026	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
13		nnne0 12375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
15	5, 8	zsubcld 12811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ)
16		dvdsval2 16430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
17	4, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
18	12, 17	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))
19		congsym 44068	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
20	4, 5, 8, 18, 19	syl22anc 852	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
21		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝑎 − 𝑁) = ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
22	21	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁) ↔ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)))
23	22	rspcev 3576	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ∧ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))
24	2, 20, 23	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   − cmin 11544   / cdiv 11976  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ℝ⁺crp 13123  ...cfz 13642   mod cmo 14012   ∥ cdvds 16427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-dvds 16428

This theorem is used by:  acongrep  44080