Theorem congrep 42425

Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem congrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodfz 13898	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
2	1	ancoms 457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
3		nnz 12617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zmodcl 13896	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ)
9		zre 12600	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnrp 13025	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		moddifz 13888	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anr 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
13		nnne0 12284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
14	13	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
15	5, 8	zsubcld 12709	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ)
16		dvdsval2 16241	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
17	4, 14, 15, 16	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
18	12, 17	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))
19		congsym 42420	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
20	4, 5, 8, 18, 19	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
21		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝑎 − 𝑁) = ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
22	21	breq2d 5164	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁) ↔ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)))
23	22	rspcev 3611	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ∧ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))
24	2, 20, 23	syl2anc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   − cmin 11482   / cdiv 11909  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ℝ⁺crp 13014  ...cfz 13524   mod cmo 13874   ∥ cdvds 16238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fl 13797  df-mod 13875  df-dvds 16239

This theorem is referenced by:  acongrep  42432