Theorem congrep 43090

Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem congrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodfz 13799	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
3		nnz 12496	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zmodcl 13797	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12500	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ)
9		zre 12479	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnrp 12904	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		moddifz 13789	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
13		nnne0 12166	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
15	5, 8	zsubcld 12588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ)
16		dvdsval2 16168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
17	4, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
18	12, 17	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))
19		congsym 43085	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
20	4, 5, 8, 18, 19	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
21		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝑎 − 𝑁) = ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
22	21	breq2d 5105	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁) ↔ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)))
23	22	rspcev 3573	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ∧ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))
24	2, 20, 23	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   − cmin 11351   / cdiv 11781  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ℝ⁺crp 12892  ...cfz 13409   mod cmo 13775   ∥ cdvds 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fl 13698  df-mod 13776  df-dvds 16166

This theorem is referenced by:  acongrep  43097