Theorem congrep 43680

Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem congrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodfz 13928	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
2	1	ancoms 463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
3		nnz 12613	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zmodcl 13926	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12617	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ)
9		zre 12596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnrp 13029	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		moddifz 13918	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
13		nnne0 12271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
15	5, 8	zsubcld 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ)
16		dvdsval2 16314	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
17	4, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
18	12, 17	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))
19		congsym 43675	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
20	4, 5, 8, 18, 19	syl22anc 851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
21		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝑎 − 𝑁) = ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
22	21	breq2d 5122	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁) ↔ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)))
23	22	rspcev 3582	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ∧ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))
24	2, 20, 23	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   − cmin 11442   / cdiv 11872  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017  ...cfz 13536   mod cmo 13904   ∥ cdvds 16311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-dvds 16312

This theorem is referenced by:  acongrep  43687