Theorem congrep 38963

Description: Every integer is congruent to some number in the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congrep	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎

Proof of Theorem congrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmodfz 13076	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
2	1	ancoms 451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)))
3		nnz 11817	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zmodcl 13074	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	ancoms 451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 11898	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ)
9		zre 11797	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		nnrp 12217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
11		moddifz 13066	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2anr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ)
13		nnne0 11474	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
14	13	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ≠ 0)
15	5, 8	zsubcld 11905	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ)
16		dvdsval2 15470	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
17	4, 14, 15, 16	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)) / 𝐴) ∈ ℤ))
18	12, 17	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))
19		congsym 38958	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 mod 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝑁 − (𝑁 mod 𝐴)))) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
20	4, 5, 8, 18, 19	syl22anc 826	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
21		oveq1 6983	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝑎 − 𝑁) = ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁))
22	21	breq2d 4941	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑁 mod 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁) ↔ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)))
23	22	rspcev 3536	. 2 ⊢ (((𝑁 mod 𝐴) ∈ (0...(𝐴 − 1)) ∧ 𝐴 ∥ ((𝑁 mod 𝐴) − 𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))
24	2, 20, 23	syl2anc 576	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ (0...(𝐴 − 1))𝐴 ∥ (𝑎 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968  ∃wrex 3090   class class class wbr 4929  (class class class)co 6976  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   − cmin 10670   / cdiv 11098  ℕcn 11439  ℕ₀cn0 11707  ℤcz 11793  ℝ⁺crp 12204  ...cfz 12708   mod cmo 13052   ∥ cdvds 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-inf 8702  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fl 12977  df-mod 13053  df-dvds 15468

This theorem is referenced by:  acongrep  38970