Theorem nbusgredgeu 29351

Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbusgredgeu.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgredgeu	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → ∃!𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁

Proof of Theorem nbusgredgeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgredgeu.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	nbusgreledg 29338	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸))
3	2	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸)
4		eqeq1 2735	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝑀, 𝑁} → (𝑒 = {𝑀, 𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ∧ 𝑒 = {𝑀, 𝑁}) → (𝑒 = {𝑀, 𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}))
6		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁})
7	3, 5, 6	rspcedvd 3574	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁})
8		rmoeq 3692	. 2 ⊢ ∃*𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁}
9		reu5 3348	. 2 ⊢ (∃!𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁} ↔ (∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁} ∧ ∃*𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁}))
10	7, 8, 9	sylanblrc 590	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → ∃!𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  ∃*wrmo 3345  {cpr 4577  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Edgcedg 29032  USGraphcusgr 29134   NeighbVtx cnbgr 29317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-hash 14244  df-edg 29033  df-upgr 29067  df-umgr 29068  df-usgr 29136  df-nbgr 29318

This theorem is referenced by:  nbusgredgeu0  29353