Theorem nbusgredgeu 29345

Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nbusgredgeu.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgredgeu	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → ∃!𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁})

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁

Proof of Theorem nbusgredgeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgredgeu.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	nbusgreledg 29332	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸))
3	2	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → {𝑀, 𝑁} ∈ 𝐸)
4		eqeq1 2739	. . . 4 ⊢ (𝑒 = {𝑀, 𝑁} → (𝑒 = {𝑀, 𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ∧ 𝑒 = {𝑀, 𝑁}) → (𝑒 = {𝑀, 𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}))
6		eqidd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁})
7	3, 5, 6	rspcedvd 3603	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁})
8		rmoeq 3721	. 2 ⊢ ∃*𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁}
9		reu5 3361	. 2 ⊢ (∃!𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁} ↔ (∃𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁} ∧ ∃*𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁}))
10	7, 8, 9	sylanblrc 590	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) → ∃!𝑒 ∈ 𝐸 𝑒 = {𝑀, 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357  ∃*wrmo 3358  {cpr 4603  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Edgcedg 29026  USGraphcusgr 29128   NeighbVtx cnbgr 29311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-edg 29027  df-upgr 29061  df-umgr 29062  df-usgr 29130  df-nbgr 29312

This theorem is referenced by:  nbusgredgeu0  29347