Theorem nbusgredgeu0 29814

Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
nbusgredgeu0	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑒   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑒   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝐼(𝑒, 𝑖)   𝑀(𝑒)   𝑁(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem nbusgredgeu0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		nbusgrf1o1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
3	2	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑁 ↔ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
4		nbgrsym 29809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
6	5	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
7	3, 6	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑁 → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
8	7	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
9		nbusgrf1o1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	9	nbusgredgeu 29812	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)) → ∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
12		df-reu 3368	. . . 4 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
14		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
15		prid1g 4724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
17		eleq2 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → (𝑈 ∈ 𝑖 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀}))
18	16, 17	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → 𝑈 ∈ 𝑖))
19	18	pm4.71rd 572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
20	19	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ((𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
21	20	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
22	14, 21	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
23	22	eubidv 2613	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
24	13, 23	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
25		df-reu 3368	. . 3 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
26		eleq2 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑖 → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ 𝑖))
27		nbusgrf1o1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
28	26, 27	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖))
29	28	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
30	29	eubii 2612	. . 3 ⊢ (∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
31	25, 30	bitri 278	. 2 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
32	24, 31	sylibr 237	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2595  ∃!wreu 3365  {crab 3414  {cpr 4589  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Vtxcvtx 29439  Edgcedg 29490  USGraphcusgr 29595   NeighbVtx cnbgr 29778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-edg 29491  df-upgr 29525  df-umgr 29526  df-usgr 29597  df-nbgr 29779

This theorem is used by: (None)