Theorem nbusgredgeu0 27638

Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
nbusgredgeu0	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑒   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑒   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑖)   𝑀(𝑒)   𝑁(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem nbusgredgeu0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		nbusgrf1o1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
3	2	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑁 ↔ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
4		nbgrsym 27633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
6	5	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
7	3, 6	syl5bi 241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑁 → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
8	7	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
9		nbusgrf1o1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	9	nbusgredgeu 27636	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)) → ∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
11	1, 8, 10	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
12		df-reu 3070	. . . 4 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
13	11, 12	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
14		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
15		prid1g 4693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
16	15	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
17		eleq2 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → (𝑈 ∈ 𝑖 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀}))
18	16, 17	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → 𝑈 ∈ 𝑖))
19	18	pm4.71rd 562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
20	19	bicomd 222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ((𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
21	20	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
22	14, 21	syl5bb 282	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
23	22	eubidv 2586	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
24	13, 23	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
25		df-reu 3070	. . 3 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
26		eleq2 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑖 → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ 𝑖))
27		nbusgrf1o1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
28	26, 27	elrab2 3620	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖))
29	28	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
30	29	eubii 2585	. . 3 ⊢ (∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
31	25, 30	bitri 274	. 2 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
32	24, 31	sylibr 233	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃!weu 2568  ∃!wreu 3065  {crab 3067  {cpr 4560  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Vtxcvtx 27269  Edgcedg 27320  USGraphcusgr 27422   NeighbVtx cnbgr 27602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-nbgr 27603

This theorem is referenced by: (None)