Theorem nbusgredgeu0 29979

Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i	⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
nbusgredgeu0	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑒   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑒   𝑖,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝐼(𝑒, 𝑖)   𝑀(𝑒)   𝑁(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem nbusgredgeu0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		nbusgrf1o1.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
3	2	eleq2i 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑁 ↔ 𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
4		nbgrsym 29974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
6	5	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
7	3, 6	biimtrid 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑀 ∈ 𝑁 → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
8	7	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
9		nbusgrf1o1.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	9	nbusgredgeu 29977	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)) → ∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
12		df-reu 3370	. . . 4 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
14		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
15		prid1g 4721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
16	15	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
17		eleq2 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → (𝑈 ∈ 𝑖 ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀}))
18	16, 17	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → 𝑈 ∈ 𝑖))
19	18	pm4.71rd 572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
20	19	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ((𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
21	20	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈 ∈ 𝑖 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
22	14, 21	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
23	22	eubidv 2614	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → (∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
24	13, 23	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
25		df-reu 3370	. . 3 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
26		eleq2 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑖 → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ 𝑖))
27		nbusgrf1o1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}
28	26, 27	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 ↔ (𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖))
29	28	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
30	29	eubii 2613	. . 3 ⊢ (∃!𝑖(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
31	25, 30	bitri 278	. 2 ⊢ (∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖((𝑖 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
32	24, 31	sylibr 237	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑀 ∈ 𝑁) → ∃!𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596  ∃!wreu 3367  {crab 3416  {cpr 4590  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655  USGraphcusgr 29760   NeighbVtx cnbgr 29943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502  df-edg 29656  df-upgr 29690  df-umgr 29691  df-usgr 29762  df-nbgr 29944

This theorem is used by: (None)