MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgredgeu0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgredgeu0 26612
Description: For each neighbor of a vertex there is exactly one edge between the vertex and its neighbor in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nbusgrf1o1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbusgrf1o1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
nbusgrf1o1.n 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
nbusgrf1o1.i 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
Assertion
Ref Expression
nbusgredgeu0 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑒   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖,𝑒   𝑖,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑒)   𝐼(𝑒,𝑖)   𝑀(𝑒)   𝑁(𝑒)   𝑉(𝑒)

Proof of Theorem nbusgredgeu0
StepHypRef Expression
1 simpll 784 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝐺 ∈ USGraph)
2 nbusgrf1o1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑈)
32eleq2i 2870 . . . . . . 7 (𝑀𝑁𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
4 nbgrsym 26605 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
65biimpd 221 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
73, 6syl5bi 234 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑀𝑁𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)))
87imp 396 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
9 nbusgrf1o1.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
109nbusgredgeu 26609 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀)) → ∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
111, 8, 10syl2anc 580 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
12 df-reu 3096 . . . 4 (∃!𝑖𝐸 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
1311, 12sylib 210 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
14 anass 461 . . . . 5 (((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖𝐸 ∧ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
15 prid1g 4484 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
1615ad2antlr 719 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀})
17 eleq2 2867 . . . . . . . . 9 (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → (𝑈𝑖𝑈 ∈ {𝑈, 𝑀}))
1816, 17syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} → 𝑈𝑖))
1918pm4.71rd 559 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2019bicomd 215 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
2120anbi2d 623 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑖𝐸 ∧ (𝑈𝑖𝑖 = {𝑈, 𝑀})) ↔ (𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2214, 21syl5bb 275 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ (𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2322eubidv 2626 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → (∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐸𝑖 = {𝑈, 𝑀})))
2413, 23mpbird 249 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
25 df-reu 3096 . . 3 (∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖(𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
26 eleq2 2867 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑖 → (𝑈𝑒𝑈𝑖))
27 nbusgrf1o1.i . . . . . 6 𝐼 = {𝑒𝐸𝑈𝑒}
2826, 27elrab2 3560 . . . . 5 (𝑖𝐼 ↔ (𝑖𝐸𝑈𝑖))
2928anbi1i 618 . . . 4 ((𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3029eubii 2625 . . 3 (∃!𝑖(𝑖𝐼𝑖 = {𝑈, 𝑀}) ↔ ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3125, 30bitri 267 . 2 (∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀} ↔ ∃!𝑖((𝑖𝐸𝑈𝑖) ∧ 𝑖 = {𝑈, 𝑀}))
3224, 31sylibr 226 1 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ 𝑀𝑁) → ∃!𝑖𝐼 𝑖 = {𝑈, 𝑀})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  ∃!weu 2608  ∃!wreu 3091  {crab 3093  {cpr 4370  cfv 6101  (class class class)co 6878  Vtxcvtx 26231  Edgcedg 26282  USGraphcusgr 26385   NeighbVtx cnbgr 26566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371  df-edg 26283  df-upgr 26317  df-umgr 26318  df-usgr 26387  df-nbgr 26567
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator