Theorem edgnbusgreu 29270

Description: For each edge incident to a vertex there is exactly one neighbor of the vertex also incident to this edge in a simple graph. (Contributed by AV, 28-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
edgnbusgreu.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
edgnbusgreu.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
edgnbusgreu	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑛,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem edgnbusgreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		edgnbusgreu.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	2	eleq2i 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
5	4	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
6		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐶)
7		usgredg2vtxeu 29124	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ 𝐶) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
9		df-reu 3352	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
10		prcom 4692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑀, 𝑛} = {𝑛, 𝑀}
11	10	eqeq2i 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
12	11	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
13	12	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
14	13	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
15	14	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
16	15	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
17	16	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
18		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
20		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22	2, 21	usgrpredgv 29100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
24	1, 20, 23	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
25		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
26	24, 25	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
27	19, 26	impbida 800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
28	27	eubidv 2579	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
29	28	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
30	9, 29	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
31	8, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
32		edgnbusgreu.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
33	32	eleq2i 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
34	2	nbusgreledg 29256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀) ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
35	33, 34	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
36	35	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
37	36	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
38	37	eubidv 2579	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
39	31, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
40		df-reu 3352	. 2 ⊢ (∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561  ∃!wreu 3349  {cpr 4587  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Vtxcvtx 28899  Edgcedg 28950  USGraphcusgr 29052   NeighbVtx cnbgr 29235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272  df-edg 28951  df-upgr 28985  df-umgr 28986  df-uspgr 29053  df-usgr 29054  df-nbgr 29236

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o0  29272