Theorem edgnbusgreu 29568

Description: For each edge incident to a vertex there is exactly one neighbor of the vertex also incident to this edge in a simple graph. (Contributed by AV, 28-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
edgnbusgreu.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
edgnbusgreu.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
edgnbusgreu	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑛,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem edgnbusgreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 776	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		edgnbusgreu.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	2	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
5	4	ad2antrl 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
6		simprr 782	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐶)
7		usgredg2vtxeu 29422	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ 𝐶) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
9		df-reu 3368	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
10		prcom 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑀, 𝑛} = {𝑛, 𝑀}
11	10	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
12	11	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
13	12	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
14	13	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
15	14	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
16	15	adantld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
17	16	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
18		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
19	17, 18	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
20		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
21		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22	2, 21	usgrpredgv 29398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	22	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
24	1, 20, 23	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
25		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
26	24, 25	jca 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
27	19, 26	impbida 810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
28	27	eubidv 2613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
29	28	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
30	9, 29	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
31	8, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
32		edgnbusgreu.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
33	32	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
34	2	nbusgreledg 29554	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀) ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
35	33, 34	bitrid 285	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
36	35	anbi1d 640	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
37	36	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
38	37	eubidv 2613	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
39	31, 38	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
40		df-reu 3368	. 2 ⊢ (∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
41	39, 40	sylibr 236	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃!weu 2595  ∃!wreu 3365  {cpr 4584  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Vtxcvtx 29197  Edgcedg 29248  USGraphcusgr 29350   NeighbVtx cnbgr 29533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-hash 14344  df-edg 29249  df-upgr 29283  df-umgr 29284  df-uspgr 29351  df-usgr 29352  df-nbgr 29534

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o0  29570