Theorem edgnbusgreu 29301

Description: For each edge incident to a vertex there is exactly one neighbor of the vertex also incident to this edge in a simple graph. (Contributed by AV, 28-Oct-2020.) (Revised by AV, 6-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
edgnbusgreu.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
edgnbusgreu.n	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
edgnbusgreu	⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑛,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem edgnbusgreu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph)
2		edgnbusgreu.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	2	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
4	3	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
5	4	ad2antrl 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
6		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → 𝑀 ∈ 𝐶)
7		usgredg2vtxeu 29155	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ 𝐶) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛})
9		df-reu 3357	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
10		prcom 4699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {𝑀, 𝑛} = {𝑛, 𝑀}
11	10	eqeq2i 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
12	11	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → 𝐶 = {𝑛, 𝑀})
13	12	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
14	13	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
15	14	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (𝐶 = {𝑀, 𝑛} → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
16	15	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
17	16	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
18		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
20		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸)
21		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
22	2, 21	usgrpredgv 29131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
24	1, 20, 23	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
25		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → 𝐶 = {𝑀, 𝑛})
26	24, 25	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) ∧ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
27	19, 26	impbida 800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
28	27	eubidv 2580	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
29	28	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
30	9, 29	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺)𝐶 = {𝑀, 𝑛} → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
31	8, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
32		edgnbusgreu.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑀)
33	32	eleq2i 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀))
34	2	nbusgreledg 29287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑀) ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
35	33, 34	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑛 ∈ 𝑁 ↔ {𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸))
36	35	anbi1d 631	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
37	36	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ((𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
38	37	eubidv 2580	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → (∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}) ↔ ∃!𝑛({𝑛, 𝑀} ∈ 𝐸 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛})))
39	31, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
40		df-reu 3357	. 2 ⊢ (∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛} ↔ ∃!𝑛(𝑛 ∈ 𝑁 ∧ 𝐶 = {𝑀, 𝑛}))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ (𝐶 ∈ 𝐸 ∧ 𝑀 ∈ 𝐶)) → ∃!𝑛 ∈ 𝑁 𝐶 = {𝑀, 𝑛})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2562  ∃!wreu 3354  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  USGraphcusgr 29083   NeighbVtx cnbgr 29266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-upgr 29016  df-umgr 29017  df-uspgr 29084  df-usgr 29085  df-nbgr 29267

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o0  29303