Theorem usgrnbcnvfv 29346

Description: Applying the edge function on the converse edge function applied on a pair of a vertex and one of its neighbors is this pair in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnbcnvfv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrnbcnvfv	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Proof of Theorem usgrnbcnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrnbcnvfv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	usgrf1o 29152	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
3		prcom 4692	. . 3 ⊢ {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	4	nbusgreledg 29334	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		edgval 29030	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
7	1	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	6, 8	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐼
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐼)
11	10	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
12	5, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼)
14	3, 13	eqeltrrid 2833	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼)
15		f1ocnvfv2 7234	. 2 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})
16	2, 14, 15	syl2an2r 685	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4587  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  iEdgciedg 28978  Edgcedg 29028  USGraphcusgr 29130   NeighbVtx cnbgr 29313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9832  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-hash 14274  df-edg 29029  df-upgr 29063  df-umgr 29064  df-usgr 29132  df-nbgr 29314

This theorem is referenced by: (None)