Theorem usgrnbcnvfv 29434

Description: Applying the edge function on the converse edge function applied on a pair of a vertex and one of its neighbors is this pair in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnbcnvfv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrnbcnvfv	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Proof of Theorem usgrnbcnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrnbcnvfv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	usgrf1o 29240	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
3		prcom 4677	. . 3 ⊢ {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	4	nbusgreledg 29422	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		edgval 29118	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
7	1	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 5893	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	6, 8	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐼
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐼)
11	10	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
12	5, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
13	12	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼)
14	3, 13	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼)
15		f1ocnvfv2 7232	. 2 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})
16	2, 14, 15	syl2an2r 686	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  iEdgciedg 29066  Edgcedg 29116  USGraphcusgr 29218   NeighbVtx cnbgr 29401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-edg 29117  df-upgr 29151  df-umgr 29152  df-usgr 29220  df-nbgr 29402

This theorem is referenced by: (None)