Theorem usgrnbcnvfv 27307

Description: Applying the edge function on the converse edge function applied on a pair of a vertex and one of its neighbors is this pair in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnbcnvfv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrnbcnvfv	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Proof of Theorem usgrnbcnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrnbcnvfv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	usgrf1o 27116	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
3		prcom 4624	. . 3 ⊢ {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	4	nbusgreledg 27295	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		edgval 26994	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
7	1	eqcomi 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 5781	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	6, 8	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐼
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐼)
11	10	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
12	5, 11	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
13	12	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼)
14	3, 13	eqeltrrid 2838	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼)
15		f1ocnvfv2 7046	. 2 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})
16	2, 14, 15	syl2an2r 685	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  {cpr 4519  ^◡ccnv 5525  dom cdm 5526  ran crn 5527  –1-1-onto→wf1o 6339  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  iEdgciedg 26942  Edgcedg 26992  USGraphcusgr 27094   NeighbVtx cnbgr 27274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-oadd 8136  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-dju 9404  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-n0 11978  df-xnn0 12050  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-hash 13784  df-edg 26993  df-upgr 27027  df-umgr 27028  df-usgr 27096  df-nbgr 27275

This theorem is referenced by: (None)