Theorem usgrnbcnvfv 29726

Description: Applying the edge function on the converse edge function applied on a pair of a vertex and one of its neighbors is this pair in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrnbcnvfv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgrnbcnvfv	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Proof of Theorem usgrnbcnvfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrnbcnvfv.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	usgrf1o 29532	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼)
3		prcom 4697	. . 3 ⊢ {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
4		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	4	nbusgreledg 29714	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺)))
6		edgval 29410	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
7	1	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐼
8	7	rneqi 5926	. . . . . . . 8 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
9	6, 8	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran 𝐼
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐼)
11	10	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
12	5, 11	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
13	12	biimpa 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼)
14	3, 13	eqeltrrid 2867	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼)
15		f1ocnvfv2 7275	. 2 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼–1-1-onto→ran 𝐼 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})
16	2, 14, 15	syl2an2r 697	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {cpr 4590  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660  ran crn 5661  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  iEdgciedg 29358  Edgcedg 29408  USGraphcusgr 29510   NeighbVtx cnbgr 29693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374  df-edg 29409  df-upgr 29443  df-umgr 29444  df-usgr 29512  df-nbgr 29694

This theorem is used by: (None)