Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnbcnvfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrnbcnvfv 27139
 Description: Applying the edge function on the converse edge function applied on a pair of a vertex and one of its neighbors is this pair in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 27-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrnbcnvfv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrnbcnvfv ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})

Proof of Theorem usgrnbcnvfv
StepHypRef Expression
1 usgrnbcnvfv.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21usgrf1o 26948 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼)
3 prcom 4660 . . 3 {𝑁, 𝐾} = {𝐾, 𝑁}
4 eqid 2819 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
54nbusgreledg 27127 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺)))
6 edgval 26826 . . . . . . . 8 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
71eqcomi 2828 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) = 𝐼
87rneqi 5800 . . . . . . . 8 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐼
96, 8eqtri 2842 . . . . . . 7 (Edg‘𝐺) = ran 𝐼
109a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐼)
1110eleq2d 2896 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑁, 𝐾} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
125, 11bitrd 281 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾) ↔ {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼))
1312biimpa 479 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝑁, 𝐾} ∈ ran 𝐼)
143, 13eqeltrrid 2916 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼)
15 f1ocnvfv2 7026 . 2 ((𝐼:dom 𝐼1-1-onto→ran 𝐼 ∧ {𝐾, 𝑁} ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})
162, 14, 15syl2an2r 683 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝐾)) → (𝐼‘(𝐼‘{𝐾, 𝑁})) = {𝐾, 𝑁})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {cpr 4561  ◡ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  –1-1-onto→wf1o 6347  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  iEdgciedg 26774  Edgcedg 26824  USGraphcusgr 26926   NeighbVtx cnbgr 27106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683  df-edg 26825  df-upgr 26859  df-umgr 26860  df-usgr 26928  df-nbgr 27107 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator