MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5a 26721
Description: Lemma for gausslemma2dlem5 26722. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5a (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 26719 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
6 prodeq2 15798 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
76oveq1d 7373 . . 3 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
85, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
9 eldifi 4087 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
10 fzfid 13879 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin)
11 prmz 16552 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
1211adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
13 elfzelz 13442 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
14 2z 12536 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
1514a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1613, 15zmulcld 12614 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1716adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1812, 17zsubcld 12613 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
19 neg1z 12540 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
2019a1i 11 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
2120, 16zmulcld 12614 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
2221adantl 483 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
23 prmnn 16551 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2416zcnd 12609 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
2524mulm1d 11608 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = -(๐‘˜ ยท 2))
2625adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = -(๐‘˜ ยท 2))
2726oveq1d 7373 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (-(๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
2816zred 12608 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
2923nnrpd 12956 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
30 negmod 13822 . . . . . 6 (((๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ (-(๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
3128, 29, 30syl2anr 598 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (-(๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
3227, 31eqtr2d 2778 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
3310, 18, 22, 23, 32fprodmodd 15881 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
341, 9, 333syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
358, 34eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  2c2 12209  4c4 12211  โ„คcz 12500  โ„+crp 12916  ...cfz 13425  โŒŠcfl 13696   mod cmo 13775  โˆcprod 15789  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-prod 15790  df-dvds 16138  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  26722
  Copyright terms: Public domain W3C validator