MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5a 27290
Description: Lemma for gausslemma2dlem5 27291. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5a (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 27288 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
6 prodeq2 15882 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
76oveq1d 7429 . . 3 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
85, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
9 eldifi 4122 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
10 fzfid 13962 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โˆˆ Fin)
11 prmz 16637 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
1211adantr 480 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
13 elfzelz 13525 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
14 2z 12616 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„ค
1514a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1613, 15zmulcld 12694 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1716adantl 481 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
1812, 17zsubcld 12693 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
19 neg1z 12620 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„ค
2019a1i 11 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ -1 โˆˆ โ„ค)
2120, 16zmulcld 12694 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
2221adantl 481 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„ค)
23 prmnn 16636 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2416zcnd 12689 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
2524mulm1d 11688 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = -(๐‘˜ ยท 2))
2625adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) = -(๐‘˜ ยท 2))
2726oveq1d 7429 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (-(๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ))
2816zred 12688 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„)
2923nnrpd 13038 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
30 negmod 13905 . . . . . 6 (((๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ (-(๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
3128, 29, 30syl2anr 596 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ (-(๐‘˜ ยท 2) mod ๐‘ƒ) = ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
3227, 31eqtr2d 2768 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = ((-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
3310, 18, 22, 23, 32fprodmodd 15965 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
341, 9, 333syl 18 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
358, 34eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) mod ๐‘ƒ) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(-1 ยท (๐‘˜ ยท 2)) mod ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056   โˆ– cdif 3941  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  2c2 12289  4c4 12291  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  ...cfz 13508  โŒŠcfl 13779   mod cmo 13858  โˆcprod 15873  โ„™cprime 16633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-prod 15874  df-dvds 16223  df-prm 16634
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  27291
  Copyright terms: Public domain W3C validator