MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem5a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem5a 25943
Description: Lemma for gausslemma2dlem5 25944. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem5a (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . . 4 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . . 4 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 gausslemma2d.m . . . 4 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
51, 2, 3, 4gausslemma2dlem3 25941 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
6 prodeq2 15257 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)))
76oveq1d 7153 . . 3 (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
85, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
9 eldifi 4087 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 fzfid 13334 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
11 prmz 16006 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
13 elfzelz 12900 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 2z 12000 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
1613, 15zmulcld 12079 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1716adantl 485 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
1812, 17zsubcld 12078 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
19 neg1z 12004 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
2019a1i 11 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → -1 ∈ ℤ)
2120, 16zmulcld 12079 . . . . 5 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
2221adantl 485 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
23 prmnn 16005 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2416zcnd 12074 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
2524mulm1d 11077 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
2625adantl 485 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
2726oveq1d 7153 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (-(𝑘 · 2) mod 𝑃))
2816zred 12073 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
2923nnrpd 12415 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30 negmod 13277 . . . . . 6 (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3128, 29, 30syl2anr 599 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3227, 31eqtr2d 2860 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
3310, 18, 22, 23, 32fprodmodd 15340 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
341, 9, 333syl 18 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
358, 34eqtrd 2859 1 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  cdif 3915  ifcif 4448  {csn 4548   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  1c1 10523   + caddc 10525   · cmul 10527   < clt 10660  cmin 10855  -cneg 10856   / cdiv 11282  2c2 11678  4c4 11680  cz 11967  +crp 12375  ...cfz 12883  cfl 13153   mod cmo 13230  cprod 15248  cprime 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-prod 15249  df-dvds 15597  df-prm 16003
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  25944
  Copyright terms: Public domain W3C validator