Theorem gausslemma2dlem5a 27754

Description: Lemma for gausslemma2dlem5 27755. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5a	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 27752	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
6		prodeq2 16125	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)))
7	6	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
9		eldifi 4070	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
10		fzfid 14156	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
11		prmz 16894	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
13		elfzelz 13696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
14		2z 12768	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
16	13, 15	zmulcld 12849	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
18	12, 17	zsubcld 12848	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
19		neg1z 12772	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → -1 ∈ ℤ)
21	20, 16	zmulcld 12849	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → ( -1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
22	21	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ( -1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
23		prmnn 16893	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
24	16	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
25	24	mulm1d 11807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → ( -1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
26	25	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ( -1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
27	26	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ( -(𝑘 · 2) mod 𝑃))
28	16	zred 12843	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℝ)
29	23	nnrpd 13202	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
30		negmod 14099	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ( -(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
31	28, 29, 30	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ( -(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
32	27, 31	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
33	10, 18, 22, 23, 32	fprodmodd 16208	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
34	1, 9, 33	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
35	8, 34	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  4c4 12439  ℤcz 12733  ℝ⁺crp 13160  ...cfz 13679  ⌊cfl 13970   mod cmo 14049  ∏cprod 16116  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-prod 16117  df-dvds 16467  df-prm 16891

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5  27755