Theorem nn0gsumfz0 20027

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
nn0gsumfz.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0gsumfz0	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑠   𝑓,𝐺   0 ,𝑓,𝑠   𝜑,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem nn0gsumfz0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0gsumfz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		nn0gsumfz.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		nn0gsumfz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		nn0gsumfz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
5		nn0gsumfz.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
6	1, 2, 3, 4, 5	nn0gsumfz 20026	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
7		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
8	7	reximi 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
9	8	reximi 3084	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5151   ↾ cres 5695  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438   ↑_m cmap 8874   finSupp cfsupp 9408  0cc0 11162   < clt 11302  ℕ₀cn0 12533  ...cfz 13553  Basecbs 17254  0_gc0g 17495   Σ_g cgsu 17496  CMndccmn 19822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8194  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-fsupp 9409  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-seq 14049  df-hash 14376  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-cntz 19357  df-cmn 19824

This theorem is referenced by: (None)