Theorem nn0gsumfz0 19931

Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0gsumfz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
nn0gsumfz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
nn0gsumfz.y	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0gsumfz0	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑠   𝑓,𝐺   0 ,𝑓,𝑠   𝜑,𝑓,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑠)   𝐺(𝑠)

Proof of Theorem nn0gsumfz0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0gsumfz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		nn0gsumfz.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		nn0gsumfz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		nn0gsumfz.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
5		nn0gsumfz.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
6	1, 2, 3, 4, 5	nn0gsumfz 19930	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
7		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
8	7	reximi 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) → ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
9	8	reximi 3076	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_m cmap 8777   finSupp cfsupp 9278  0cc0 11040   < clt 11180  ℕ₀cn0 12415  ...cfz 13437  Basecbs 17150  0_gc0g 17373   Σ_g cgsu 17374  CMndccmn 19726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-cntz 19263  df-cmn 19728

This theorem is referenced by: (None)