MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0gsumfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0gsumfz 19852
Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0gsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0 0 = (0g𝐺)
nn0gsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
nn0gsumfz.y (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
nn0gsumfz (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑠,𝑥   𝑓,𝐺   0 ,𝑓,𝑠,𝑥   𝜑,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem nn0gsumfz
StepHypRef Expression
1 nn0gsumfz.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
2 nn0gsumfz.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
32fvexi 6906 . . . 4 0 ∈ V
41, 3jctir 522 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ 0 ∈ V))
5 nn0gsumfz.y . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
6 fsuppmapnn0ub 13960 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )))
74, 5, 6sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
8 eqidd 2734 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)))
9 simpr 486 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
10 nn0gsumfz.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 nn0gsumfz.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
131adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
14 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠))
1610, 2, 12, 13, 14, 15fsfnn0gsumfsffz 19851 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠)))))
1716imp 408 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))
1813adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
19 fz0ssnn0 13596 . . . . . . 7 (0...𝑠) ⊆ ℕ0
20 elmapssres 8861 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ (0...𝑠) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∈ (𝐵m (0...𝑠)))
2118, 19, 20sylancl 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∈ (𝐵m (0...𝑠)))
22 eqeq1 2737 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠))))
23 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))
2423eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠)))))
2522, 243anbi13d 1439 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → ((𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) ↔ ((𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))))
2625adantl 483 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) ∧ 𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠))) → ((𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) ↔ ((𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))))
2721, 26rspcedv 3606 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (((𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠)))) → ∃𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
288, 9, 17, 27mp3and 1465 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
2928ex 414 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
3029reximdva 3169 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
317, 30mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949   class class class wbr 5149  cres 5679  cfv 6544  (class class class)co 7409  m cmap 8820   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11110   < clt 11248  0cn0 12472  ...cfz 13484  Basecbs 17144  0gc0g 17385   Σg cgsu 17386  CMndccmn 19648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-cntz 19181  df-cmn 19650
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz0  19853
  Copyright terms: Public domain W3C validator