MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0gsumfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0gsumfz 19900
Description: Replacing a finitely supported function over the nonnegative integers by a function over a finite set of sequential integers in a finite group sum. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0gsumfz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nn0gsumfz.0 0 = (0g𝐺)
nn0gsumfz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
nn0gsumfz.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
nn0gsumfz.y (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
nn0gsumfz (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹,𝑠,𝑥   𝑓,𝐺   0 ,𝑓,𝑠,𝑥   𝜑,𝑓,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem nn0gsumfz
StepHypRef Expression
1 nn0gsumfz.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵m0))
2 nn0gsumfz.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
32fvexi 6905 . . . 4 0 ∈ V
41, 3jctir 520 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ 0 ∈ V))
5 nn0gsumfz.y . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
6 fsuppmapnn0ub 13967 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )))
74, 5, 6sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
8 eqidd 2732 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)))
9 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ))
10 nn0gsumfz.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 nn0gsumfz.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
131adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
15 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠))
1610, 2, 12, 13, 14, 15fsfnn0gsumfsffz 19899 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠)))))
1716imp 406 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))
1813adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → 𝐹 ∈ (𝐵m0))
19 fz0ssnn0 13603 . . . . . . 7 (0...𝑠) ⊆ ℕ0
20 elmapssres 8867 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐵m0) ∧ (0...𝑠) ⊆ ℕ0) → (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∈ (𝐵m (0...𝑠)))
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∈ (𝐵m (0...𝑠)))
22 eqeq1 2735 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ↔ (𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠))))
23 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))
2423eqeq2d 2742 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓) ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠)))))
2522, 243anbi13d 1437 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) → ((𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) ↔ ((𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))))
2625adantl 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) ∧ 𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠))) → ((𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)) ↔ ((𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠))))))
2721, 26rspcedv 3605 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → (((𝐹 ↾ (0...𝑠)) = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (0...𝑠)))) → ∃𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
288, 9, 17, 27mp3and 1463 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
2928ex 412 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
3029reximdva 3167 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
317, 30mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝑓 = (𝐹 ↾ (0...𝑠)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 0 ) ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  wss 3948   class class class wbr 5148  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826   finSupp cfsupp 9367  0cc0 11116   < clt 11255  0cn0 12479  ...cfz 13491  Basecbs 17151  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  CMndccmn 19696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-cntz 19229  df-cmn 19698
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz0  19901
  Copyright terms: Public domain W3C validator