Theorem gsummptnn0fz 20113

Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptnn0fz.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fz.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummptnn0fz.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fz.f	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummptnn0fz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fz.u	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
gsummptnn0fz	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptnn0fz.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ))
2		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 )
3		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 < 𝑥
4		nfcsb1v 3871	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶
5	4	nfeq1 2937	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0
6	3, 5	nfim 1929	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
7		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘 ↔ 𝑆 < 𝑥))
8		csbeq1a 3861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐶 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
9	8	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
11	2, 6, 10	cbvralw 3304	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘 → 𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
12	1, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
13		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14		gsummptnn0fz.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
15	14	anim1ci 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵))
16		rspcsbela 4396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
18	13, 17	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵))
19	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵))
20		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
21	20	fvmpts 6990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
23		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )
24	22, 23	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )
25	24	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ))
26	25	imim2d 58	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )))
27	26	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )))
28	12, 27	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ))
29		gsummptnn0fz.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
30		gsummptnn0fz.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
31		gsummptnn0fz.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
32	20	fmpt 7103	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵)
33	14, 32	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵)
34	29	fvexi 6892	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
35		nn0ex 12534	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
37		elmapg 8838	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵))
38	36, 37	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶):ℕ0⟶𝐵))
39	33, 38	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
40		gsummptnn0fz.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
41		fz0ssnn0 13677	. . . . 5 ⊢ (0...𝑆) ⊆ ℕ0
42		resmpt 6033	. . . . 5 ⊢ ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
44	43	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ↾ (0...𝑆))
45	29, 30, 31, 39, 40, 44	fsfnn0gsumfsffz 20110	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
46	28, 45	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  0cc0 11124   < clt 11267  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  Basecbs 17301  0_gc0g 17524   Σ_g cgsu 17525  CMndccmn 19907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-cntz 19444  df-cmn 19909

This theorem is used by:  gsummptnn0fzfv  20114  telgsums  20120  gsummoncoe1  22533  pmatcollpwfi  23007  mp2pm2mplem4  23034