MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fz 19853
Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fz.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fz.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
gsummptnn0fz.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fz.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fz.u . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
2 nfv 1917 . . . . 5 𝑥(𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )
3 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 𝑆 < 𝑥
4 nfcsb1v 3918 . . . . . . 7 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶
54nfeq1 2918 . . . . . 6 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶 = 0
63, 5nfim 1899 . . . . 5 𝑘(𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
7 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑥))
8 csbeq1a 3907 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑘𝐶)
98eqeq1d 2734 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
107, 9imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
112, 6, 10cbvralw 3303 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
121, 11sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14 gsummptnn0fz.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1514anim1ci 616 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
16 rspcsbela 4435 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1813, 17jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
2120fvmpts 7001 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
23 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
2422, 23eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
2524ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
2625imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2726ralimdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2812, 27mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
29 gsummptnn0fz.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
30 gsummptnn0fz.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
31 gsummptnn0fz.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3220fmpt 7109 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3314, 32sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3429fvexi 6905 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
35 nn0ex 12477 . . . . . 6 0 ∈ V
3634, 35pm3.2i 471 . . . . 5 (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
37 elmapg 8832 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
3836, 37mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
3933, 38mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0))
40 gsummptnn0fz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41 fz0ssnn0 13595 . . . . 5 (0...𝑆) ⊆ ℕ0
42 resmpt 6037 . . . . 5 ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
4341, 42ax-mp 5 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
4443eqcomi 2741 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆))
4529, 30, 31, 39, 40, 44fsfnn0gsumfsffz 19850 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
4628, 45mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  csb 3893  wss 3948   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5678  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408  m cmap 8819  0cc0 11109   < clt 11247  0cn0 12471  ...cfz 13483  Basecbs 17143  0gc0g 17384   Σg cgsu 17385  CMndccmn 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-cntz 19180  df-cmn 19649
This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzfv  19854  telgsums  19860  gsummoncoe1  21827  pmatcollpwfi  22283  mp2pm2mplem4  22310
  Copyright terms: Public domain W3C validator