MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fz 20004
Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fz.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fz.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
gsummptnn0fz.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fz.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fz.u . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
2 nfv 1914 . . . . 5 𝑥(𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )
3 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘 𝑆 < 𝑥
4 nfcsb1v 3923 . . . . . . 7 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶
54nfeq1 2921 . . . . . 6 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶 = 0
63, 5nfim 1896 . . . . 5 𝑘(𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
7 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑥))
8 csbeq1a 3913 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑘𝐶)
98eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
107, 9imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
112, 6, 10cbvralw 3306 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
121, 11sylib 218 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14 gsummptnn0fz.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1514anim1ci 616 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
16 rspcsbela 4438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1813, 17jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
20 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
2120fvmpts 7019 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
23 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
2422, 23eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
2524ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
2625imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2726ralimdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2812, 27mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
29 gsummptnn0fz.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
30 gsummptnn0fz.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
31 gsummptnn0fz.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3220fmpt 7130 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3314, 32sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3429fvexi 6920 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
35 nn0ex 12532 . . . . . 6 0 ∈ V
3634, 35pm3.2i 470 . . . . 5 (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
37 elmapg 8879 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
3836, 37mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
3933, 38mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0))
40 gsummptnn0fz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41 fz0ssnn0 13662 . . . . 5 (0...𝑆) ⊆ ℕ0
42 resmpt 6055 . . . . 5 ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
4341, 42ax-mp 5 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
4443eqcomi 2746 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆))
4529, 30, 31, 39, 40, 44fsfnn0gsumfsffz 20001 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
4628, 45mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  csb 3899  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  0cc0 11155   < clt 11295  0cn0 12526  ...cfz 13547  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cntz 19335  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzfv  20005  telgsums  20011  gsummoncoe1  22312  pmatcollpwfi  22788  mp2pm2mplem4  22815
  Copyright terms: Public domain W3C validator