MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptnn0fz 19943
Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fz.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptnn0fz.0 0 = (0g𝐺)
gsummptnn0fz.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptnn0fz.f (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
gsummptnn0fz.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
gsummptnn0fz.u (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fz (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑆,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem gsummptnn0fz
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fz.u . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ))
2 nfv 1909 . . . . 5 𝑥(𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 )
3 nfv 1909 . . . . . 6 𝑘 𝑆 < 𝑥
4 nfcsb1v 3910 . . . . . . 7 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶
54nfeq1 2908 . . . . . 6 𝑘𝑥 / 𝑘𝐶 = 0
63, 5nfim 1891 . . . . 5 𝑘(𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
7 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑆 < 𝑘𝑆 < 𝑥))
8 csbeq1a 3899 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥𝐶 = 𝑥 / 𝑘𝐶)
98eqeq1d 2727 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐶 = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
107, 9imbi12d 343 . . . . 5 (𝑘 = 𝑥 → ((𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
112, 6, 10cbvralw 3294 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑘𝐶 = 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
121, 11sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
14 gsummptnn0fz.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
1514anim1ci 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵))
16 rspcsbela 4431 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1813, 17jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
1918adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵))
20 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
2120fvmpts 7002 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
23 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )
2422, 23eqtrd 2765 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
2524ex 411 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
2625imim2d 57 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2726ralimdva 3157 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )))
2812, 27mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ))
29 gsummptnn0fz.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
30 gsummptnn0fz.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
31 gsummptnn0fz.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
3220fmpt 7114 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3314, 32sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵)
3429fvexi 6905 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
35 nn0ex 12506 . . . . . 6 0 ∈ V
3634, 35pm3.2i 469 . . . . 5 (𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
37 elmapg 8854 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
3836, 37mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶):ℕ0𝐵))
3933, 38mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ (𝐵m0))
40 gsummptnn0fz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ0)
41 fz0ssnn0 13626 . . . . 5 (0...𝑆) ⊆ ℕ0
42 resmpt 6036 . . . . 5 ((0...𝑆) ⊆ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))
4341, 42ax-mp 5 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆)) = (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)
4443eqcomi 2734 . . 3 (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ↾ (0...𝑆))
4529, 30, 31, 39, 40, 44fsfnn0gsumfsffz 19940 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑆 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 ) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶))))
4628, 45mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑆) ↦ 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  Vcvv 3463  csb 3885  wss 3940   class class class wbr 5143  cmpt 5226  cres 5674  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7415  m cmap 8841  0cc0 11136   < clt 11276  0cn0 12500  ...cfz 13514  Basecbs 17177  0gc0g 17418   Σg cgsu 17419  CMndccmn 19737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-cntz 19270  df-cmn 19739
This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzfv  19944  telgsums  19950  gsummoncoe1  22234  pmatcollpwfi  22700  mp2pm2mplem4  22727
  Copyright terms: Public domain W3C validator