Theorem aks6d1c1p8 42546

Description: If a number 𝐸 is introspective to 𝐹, then so are its powers. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1.9	⊢ 𝐷 = (.g‘𝑊)
aks6d1c1.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1.16	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1.18	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p8.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1p8.3	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p8	⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝑦, ∼   𝐵,𝑒,𝑓   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐷(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   + (𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p8

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p8.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (ℎ = 0 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑0))
3	2	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (ℎ = 0 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑0) ∼ 𝐹))
4		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑𝑖))
5	4	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹))
6		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑖 + 1) → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑(𝑖 + 1)))
7	6	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (ℎ = (𝑖 + 1) → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑(𝑖 + 1)) ∼ 𝐹))
8		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐿 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑𝐿))
9	8	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐿 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹))
10		aks6d1c1.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
11		aks6d1c1p8.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
12	10, 11	aks6d1c1p1rcl 42539	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
13	12	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12162	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 14064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑0) = 1)
16		aks6d1c1.11	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
17		aks6d1c1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		aks6d1c1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
20		aks6d1c1.13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
21	20	fldcrngd 20677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
23		aks6d1c1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
24	23	crngmgp 20180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
26		aks6d1c1.15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
28		aks6d1c1.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
29	25, 27, 28	isprimroot 42524	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
30	29	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙)))
32	31	simp1d 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
33	23, 18	mgpbas 20084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
34	32, 33	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
35	12	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
37	16, 17, 18, 19, 22, 34, 36	fveval1fvcl 22276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
38	37, 33	eleqtrdi 2847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
40	39, 28	mulg1 19015	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
42	39, 28	mulg1 19015	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) → (1 ↑ 𝑦) = 𝑦)
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ 𝑦) = 𝑦)
44	43	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 = (1 ↑ 𝑦))
45	44	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
46	41, 45	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
47	46	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
48		1nn 12157	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
50	10, 35, 49	aks6d1c1p1 42538	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦))))
51	47, 50	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∼ 𝐹)
52	15, 51	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑0) ∼ 𝐹)
53	14	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐸 ∈ ℂ)
54		1nn0 12418	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 1 ∈ ℕ0)
56		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑖 ∈ ℕ0)
57	53, 55, 56	expaddd 14072	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) = ((𝐸↑𝑖) · (𝐸↑1)))
58	53	exp1d 14065	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑1) = 𝐸)
59	58	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → ((𝐸↑𝑖) · (𝐸↑1)) = ((𝐸↑𝑖) · 𝐸))
60	57, 59	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) = ((𝐸↑𝑖) · 𝐸))
61		aks6d1c1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
62		aks6d1c1.5	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
63		aks6d1c1.8	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
64		aks6d1c1.10	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
65		aks6d1c1.12	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑆)
66	20	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐾 ∈ Field)
67		aks6d1c1.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
68	67	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑃 ∈ ℙ)
69	26	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑅 ∈ ℕ)
70		aks6d1c1p8.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
71	70	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
72		aks6d1c1.17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
73	72	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑃 ∥ 𝑁)
74		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹)
75	11	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐸 ∼ 𝐹)
76	10, 17, 19, 61, 62, 23, 28, 63, 64, 16, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 74, 75	aks6d1c1p5 42543	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → ((𝐸↑𝑖) · 𝐸) ∼ 𝐹)
77	60, 76	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) ∼ 𝐹)
78	3, 5, 7, 9, 52, 77	nn0indd 12590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)
79	1, 78	mpdan 688	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086  {copab 5148  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13985   ∥ cdvds 16180   gcd cgcd 16422  ℙcprime 16599  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  0_gc0g 17360  ._gcmg 19001  CMndccmn 19713  mulGrpcmgp 20079  CRingccrg 20173  Fieldcfield 20665  chrcchr 21458  algSccascl 21809  var₁cv1 22117  Poly₁cpl1 22118  eval₁ce1 22257   PrimRoots cprimroots 42522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-field 20667  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-assa 21810  df-asp 21811  df-ascl 21812  df-psr 21866  df-mvr 21867  df-mpl 21868  df-opsr 21870  df-evls 22030  df-evl 22031  df-psr1 22121  df-ply1 22123  df-evl1 22259  df-primroots 42523

This theorem is referenced by:  aks6d1c1  42547