Theorem aks6d1c1p8 42105

Description: If a number 𝐸 is introspective to 𝐹, then so are its powers. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1.9	⊢ 𝐷 = (.g‘𝑊)
aks6d1c1.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1.16	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1.18	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p8.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1p8.3	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p8	⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝑦, ∼   𝐵,𝑒,𝑓   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐷(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑃(𝑦,𝑒,𝑓)   + (𝑦,𝑒,𝑓)   ∼ (𝑒,𝑓)   𝑆(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐾(𝑦,𝑒,𝑓)   𝐿(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑁(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑊(𝑦,𝑒,𝑓)   𝑋(𝑦,𝑒,𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p8

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p8.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7348	. . . 4 ⊢ (ℎ = 0 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑0))
3	2	breq1d 5098	. . 3 ⊢ (ℎ = 0 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑0) ∼ 𝐹))
4		oveq2 7348	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑𝑖))
5	4	breq1d 5098	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹))
6		oveq2 7348	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑖 + 1) → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑(𝑖 + 1)))
7	6	breq1d 5098	. . 3 ⊢ (ℎ = (𝑖 + 1) → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑(𝑖 + 1)) ∼ 𝐹))
8		oveq2 7348	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐿 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑𝐿))
9	8	breq1d 5098	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐿 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹))
10		aks6d1c1.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
11		aks6d1c1p8.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
12	10, 11	aks6d1c1p1rcl 42098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
13	12	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 14035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑0) = 1)
16		aks6d1c1.11	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
17		aks6d1c1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
18		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		aks6d1c1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
20		aks6d1c1.13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
21	20	fldcrngd 20611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
23		aks6d1c1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
24	23	crngmgp 20113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
26		aks6d1c1.15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
28		aks6d1c1.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
29	25, 27, 28	isprimroot 42083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
30	29	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙)))
32	31	simp1d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
33	23, 18	mgpbas 20017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
34	32, 33	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
35	12	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
37	16, 17, 18, 19, 22, 34, 36	fveval1fvcl 22202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
38	37, 33	eleqtrdi 2838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
39		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
40	39, 28	mulg1 18947	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
41	38, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
42	39, 28	mulg1 18947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) → (1 ↑ 𝑦) = 𝑦)
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ 𝑦) = 𝑦)
44	43	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 = (1 ↑ 𝑦))
45	44	fveq2d 6820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
46	41, 45	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
47	46	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
48		1nn 12127	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
50	10, 35, 49	aks6d1c1p1 42097	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦))))
51	47, 50	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∼ 𝐹)
52	15, 51	eqbrtrd 5110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑0) ∼ 𝐹)
53	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐸 ∈ ℂ)
54		1nn0 12388	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 1 ∈ ℕ0)
56		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑖 ∈ ℕ0)
57	53, 55, 56	expaddd 14043	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) = ((𝐸↑𝑖) · (𝐸↑1)))
58	53	exp1d 14036	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑1) = 𝐸)
59	58	oveq2d 7356	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → ((𝐸↑𝑖) · (𝐸↑1)) = ((𝐸↑𝑖) · 𝐸))
60	57, 59	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) = ((𝐸↑𝑖) · 𝐸))
61		aks6d1c1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
62		aks6d1c1.5	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
63		aks6d1c1.8	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
64		aks6d1c1.10	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
65		aks6d1c1.12	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑆)
66	20	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐾 ∈ Field)
67		aks6d1c1.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
68	67	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑃 ∈ ℙ)
69	26	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑅 ∈ ℕ)
70		aks6d1c1p8.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
71	70	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
72		aks6d1c1.17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
73	72	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑃 ∥ 𝑁)
74		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹)
75	11	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐸 ∼ 𝐹)
76	10, 17, 19, 61, 62, 23, 28, 63, 64, 16, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 74, 75	aks6d1c1p5 42102	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → ((𝐸↑𝑖) · 𝐸) ∼ 𝐹)
77	60, 76	eqbrtrd 5110	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) ∼ 𝐹)
78	3, 5, 7, 9, 52, 77	nn0indd 12561	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)
79	1, 78	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5088  {copab 5150  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  0cc0 10997  1c1 10998   + caddc 11000   · cmul 11002  ℕcn 12116  ℕ₀cn0 12372  ↑cexp 13956   ∥ cdvds 16150   gcd cgcd 16392  ℙcprime 16569  Basecbs 17107  +_gcplusg 17148  0_gc0g 17330  ._gcmg 18933  CMndccmn 19646  mulGrpcmgp 20012  CRingccrg 20106  Fieldcfield 20599  chrcchr 21392  algSccascl 21743  var₁cv1 22042  Poly₁cpl1 22043  eval₁ce1 22183   PrimRoots cprimroots 42081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-ofr 7605  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-rp 12882  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16151  df-gcd 16393  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-hom 17172  df-cco 17173  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-prds 17338  df-pws 17340  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-mulg 18934  df-subg 18989  df-ghm 19079  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-srg 20059  df-ring 20107  df-cring 20108  df-rhm 20344  df-subrng 20415  df-subrg 20439  df-field 20601  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21800  df-mvr 21801  df-mpl 21802  df-opsr 21804  df-evls 21963  df-evl 21964  df-psr1 22046  df-ply1 22048  df-evl1 22185  df-primroots 42082

This theorem is referenced by:  aks6d1c1  42106