Theorem aks6d1c1p8 42910

Description: If a number 𝐸 is introspective to 𝐹, then so are its powers. (Contributed by metakunt, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1c1.1	⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
aks6d1c1.2	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
aks6d1c1.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
aks6d1c1.4	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c1.5	⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
aks6d1c1.6	⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
aks6d1c1.7	⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
aks6d1c1.8	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
aks6d1c1.9	⊢ 𝐷 = (.g‘𝑊)
aks6d1c1.10	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c1.11	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
aks6d1c1.12	⊢ + = (+g‘𝑆)
aks6d1c1.13	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1c1.14	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c1.15	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c1.16	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c1.17	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks6d1c1.18	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c1p8.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
aks6d1c1p8.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
aks6d1c1p8.3	⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c1p8	⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑒,𝑓,𝑦   𝑦, ∼   𝐵,𝑒,𝑓   𝑒,𝐸,𝑓,𝑦   𝑒,𝐹,𝑓,𝑦   𝑒,𝑂,𝑓,𝑦   𝑅,𝑒,𝑓,𝑦   𝑒,𝑉,𝑓,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑓)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐷(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑃(𝑦, 𝑒, 𝑓)   + (𝑦, 𝑒, 𝑓)   ∼ (𝑒, 𝑓)   𝑆(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐾(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝐿(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑁(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑊(𝑦, 𝑒, 𝑓)   𝑋(𝑦, 𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem aks6d1c1p8

Dummy variables ℎ 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c1p8.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
2		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (ℎ = 0 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑0))
3	2	breq1d 5118	. . 3 ⊢ (ℎ = 0 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑0) ∼ 𝐹))
4		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑𝑖))
5	4	breq1d 5118	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝑖 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹))
6		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑖 + 1) → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑(𝑖 + 1)))
7	6	breq1d 5118	. . 3 ⊢ (ℎ = (𝑖 + 1) → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑(𝑖 + 1)) ∼ 𝐹))
8		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐿 → (𝐸↑ℎ) = (𝐸↑𝐿))
9	8	breq1d 5118	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐿 → ((𝐸↑ℎ) ∼ 𝐹 ↔ (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹))
10		aks6d1c1.1	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(𝑒 ↑ ((𝑂‘𝑓)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝑓)‘(𝑒 ↑ 𝑦)))}
11		aks6d1c1p8.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∼ 𝐹)
12	10, 11	aks6d1c1p1rcl 42903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ 𝐵))
13	12	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℕ)
14	13	nncnd 12255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	exp0d 14183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑0) = 1)
16		aks6d1c1.11	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝐾)
17		aks6d1c1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝐾)
18		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		aks6d1c1.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
20		aks6d1c1.13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
21	20	fldcrngd 20853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ CRing)
23		aks6d1c1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑉 = (mulGrp‘𝐾)
24	23	crngmgp 20329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝑉 ∈ CMnd)
25	21, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ CMnd)
26		aks6d1c1.15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
27	26	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ0)
28		aks6d1c1.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ↑ = (.g‘𝑉)
29	25, 27, 28	isprimroot 42888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
30	29	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙))))
31	30	imp 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) ∧ (𝑅 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 ((𝑙 ↑ 𝑦) = (0g‘𝑉) → 𝑅 ∥ 𝑙)))
32	31	simp1d 1159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑉))
33	23, 18	mgpbas 20227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝑉)
34	32, 33	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
35	12	simprd 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
37	16, 17, 18, 19, 22, 34, 36	fveval1fvcl 22504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐾))
38	37, 33	eleqtrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉))
39		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑉) = (Base‘𝑉)
40	39, 28	mulg1 19153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑂‘𝐹)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑉) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
41	38, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘𝑦))
42	39, 28	mulg1 19153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝑉) → (1 ↑ 𝑦) = 𝑦)
43	32, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ 𝑦) = 𝑦)
44	43	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → 𝑦 = (1 ↑ 𝑦))
45	44	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑦) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
46	41, 45	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)) → (1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
47	46	ralrimiva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦)))
48		1nn 12250	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
50	10, 35, 49	aks6d1c1p1 42902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∼ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑉 PrimRoots 𝑅)(1 ↑ ((𝑂‘𝐹)‘𝑦)) = ((𝑂‘𝐹)‘(1 ↑ 𝑦))))
51	47, 50	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∼ 𝐹)
52	15, 51	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑0) ∼ 𝐹)
53	14	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐸 ∈ ℂ)
54		1nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 1 ∈ ℕ0)
56		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑖 ∈ ℕ0)
57	53, 55, 56	expaddd 14191	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) = ((𝐸↑𝑖) · (𝐸↑1)))
58	53	exp1d 14184	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑1) = 𝐸)
59	58	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → ((𝐸↑𝑖) · (𝐸↑1)) = ((𝐸↑𝑖) · 𝐸))
60	57, 59	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) = ((𝐸↑𝑖) · 𝐸))
61		aks6d1c1.4	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
62		aks6d1c1.5	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (mulGrp‘𝑆)
63		aks6d1c1.8	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑆)
64		aks6d1c1.10	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
65		aks6d1c1.12	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑆)
66	20	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐾 ∈ Field)
67		aks6d1c1.14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
68	67	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑃 ∈ ℙ)
69	26	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑅 ∈ ℕ)
70		aks6d1c1p8.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
71	70	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸 gcd 𝑅) = 1)
72		aks6d1c1.17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
73	72	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝑃 ∥ 𝑁)
74		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹)
75	11	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → 𝐸 ∼ 𝐹)
76	10, 17, 19, 61, 62, 23, 28, 63, 64, 16, 65, 66, 68, 69, 71, 73, 74, 75	aks6d1c1p5 42907	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → ((𝐸↑𝑖) · 𝐸) ∼ 𝐹)
77	60, 76	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ (𝐸↑𝑖) ∼ 𝐹) → (𝐸↑(𝑖 + 1)) ∼ 𝐹)
78	3, 5, 7, 9, 52, 77	nn0indd 12699	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)
79	1, 78	mpdan 699	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑𝐿) ∼ 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   class class class wbr 5108  {copab 5172  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  ↑cexp 14104   ∥ cdvds 16316   gcd cgcd 16558  ℙcprime 16735  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498  ._gcmg 19139  CMndccmn 19856  mulGrpcmgp 20222  CRingccrg 20322  Fieldcfield 20839  chrcchr 21662  algSccascl 22013  var₁cv1 22347  Poly₁cpl1 22348  eval₁ce1 22485   PrimRoots cprimroots 42886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-srg 20275  df-ring 20323  df-cring 20324  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-field 20841  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-assa 22014  df-asp 22015  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-evls 22236  df-evl 22237  df-psr1 22351  df-ply1 22353  df-evl1 22487  df-primroots 42887

This theorem is used by:  aks6d1c1  42911