MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absexp 15247
Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem absexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
21fveq2d 6892 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘0)))
3 oveq2 7413 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘0))
42, 3eqeq12d 2748 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘0)))
5 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
65fveq2d 6892 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
7 oveq2 7413 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
86, 7eqeq12d 2748 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
9 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
109fveq2d 6892 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
11 oveq2 7413 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1210, 11eqeq12d 2748 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413fveq2d 6892 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))
15 oveq2 7413 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
1614, 15eqeq12d 2748 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
17 abs1 15240 . . 3 (absโ€˜1) = 1
18 exp0 14027 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
1918fveq2d 6892 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘0)) = (absโ€˜1))
20 abscl 15221 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2120recnd 11238 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2221exp0d 14101 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
2317, 19, 223eqtr4a 2798 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘0))
24 oveq1 7412 . . . 4 ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
2524adantl 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
26 expp1 14030 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2726fveq2d 6892 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
28 expcl 14041 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 simpl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 absmul 15237 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
3227, 31eqtrd 2772 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
3332adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
34 expp1 14030 . . . . 5 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
3521, 34sylan 580 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
3635adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
3725, 33, 363eqtr4d 2782 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
384, 8, 12, 16, 23, 37nn0indd 12655 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111  โ„•0cn0 12468  โ†‘cexp 14023  abscabs 15177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179
This theorem is referenced by:  absexpz  15248  abssq  15249  sqabs  15250  absexpd  15395  expcnv  15806  eftabs  16015  efcllem  16017  efaddlem  16032  iblabsr  25338  iblmulc2  25339  abelthlem7  25941  efif1olem3  26044  efif1olem4  26045  logtayllem  26158  bndatandm  26423  ftalem1  26566  mule1  26641  iblmulc2nc  36541
  Copyright terms: Public domain W3C validator