MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absexp 15289
Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absexp ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem absexp
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7432 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
21fveq2d 6904 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘0)))
3 oveq2 7432 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘0))
42, 3eqeq12d 2743 . 2 (๐‘— = 0 โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘0)))
5 oveq2 7432 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
65fveq2d 6904 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
7 oveq2 7432 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
86, 7eqeq12d 2743 . 2 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
9 oveq2 7432 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
109fveq2d 6904 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
11 oveq2 7432 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
1210, 11eqeq12d 2743 . 2 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1))))
13 oveq2 7432 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
1413fveq2d 6904 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))
15 oveq2 7432 . . 3 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
1614, 15eqeq12d 2743 . 2 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘—)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘—) โ†” (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘)))
17 abs1 15282 . . 3 (absโ€˜1) = 1
18 exp0 14068 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
1918fveq2d 6904 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘0)) = (absโ€˜1))
20 abscl 15263 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2120recnd 11278 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2221exp0d 14142 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘0) = 1)
2317, 19, 223eqtr4a 2793 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘0)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘0))
24 oveq1 7431 . . . 4 ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
2524adantl 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
26 expp1 14071 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2726fveq2d 6904 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
28 expcl 14082 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 simpl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
30 absmul 15279 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
3128, 29, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
3227, 31eqtrd 2767 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
3332adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท (absโ€˜๐ด)))
34 expp1 14071 . . . . 5 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
3521, 34sylan 578 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
3635adantr 479 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
3725, 33, 363eqtr4d 2777 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
384, 8, 12, 16, 23, 37nn0indd 12695 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   ยท cmul 11149  โ„•0cn0 12508  โ†‘cexp 14064  abscabs 15219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221
This theorem is referenced by:  absexpz  15290  abssq  15291  sqabs  15292  absexpd  15437  expcnv  15848  eftabs  16057  efcllem  16059  efaddlem  16075  iblabsr  25777  iblmulc2  25778  abelthlem7  26393  efif1olem3  26496  efif1olem4  26497  logtayllem  26611  bndatandm  26879  ftalem1  27023  mule1  27098  iblmulc2nc  37163
  Copyright terms: Public domain W3C validator