Theorem absexp 14997

Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
absexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2	1	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑0)))
3		oveq2 7276	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0)))
5		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
7		oveq2 7276	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
8	6, 7	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
9		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
11		oveq2 7276	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
12	10, 11	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 7276	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑𝑁)))
15		oveq2 7276	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
16	14, 15	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
17		abs1 14990	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
18		exp0 13767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
19	18	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = (abs‘1))
20		abscl 14971	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10987	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
22	21	exp0d 13839	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑0) = 1)
23	17, 19, 22	3eqtr4a 2805	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))
24		oveq1 7275	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
26		expp1 13770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
27	26	fveq2d 6772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
28		expcl 13781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		absmul 14987	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
31	28, 29, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
32	27, 31	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
34		expp1 13770	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
35	21, 34	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
37	25, 33, 36	3eqtr4d 2789	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
38	4, 8, 12, 16, 23, 37	nn0indd 12400	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860  ℕ₀cn0 12216  ↑cexp 13763  abscabs 14926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928

This theorem is referenced by:  absexpz  14998  abssq  14999  sqabs  15000  absexpd  15145  expcnv  15557  eftabs  15766  efcllem  15768  efaddlem  15783  iblabsr  24975  iblmulc2  24976  abelthlem7  25578  efif1olem3  25681  efif1olem4  25682  logtayllem  25795  bndatandm  26060  ftalem1  26203  mule1  26278  iblmulc2nc  35821