Theorem absexp 15261

Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
absexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
2	1	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑0)))
3		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2757	. 2 ⊢ (𝑗 = 0 → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0)))
5		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
6	5	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑𝑘)))
7		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
8	6, 7	eqeq12d 2757	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
9		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
10	9	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
11		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
12	10, 11	eqeq12d 2757	. 2 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
14	13	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (abs‘(𝐴↑𝑗)) = (abs‘(𝐴↑𝑁)))
15		oveq2 7368	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
16	14, 15	eqeq12d 2757	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘(𝐴↑𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
17		abs1 15254	. . 3 ⊢ (abs‘1) = 1
18		exp0 14022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
19	18	fveq2d 6835	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = (abs‘1))
20		abscl 15235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
22	21	exp0d 14097	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑0) = 1)
23	17, 19, 22	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))
24		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
25	24	adantl 483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
26		expp1 14025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
27	26	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
28		expcl 14036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
29		simpl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
30		absmul 15251	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
31	28, 29, 30	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
32	27, 31	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
33	32	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴↑𝑘)) · (abs‘𝐴)))
34		expp1 14025	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
35	21, 34	sylan 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
36	35	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
37	25, 33, 36	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
38	4, 8, 12, 16, 23, 37	nn0indd 12621	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018  abscabs 15191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193

This theorem is referenced by:  absexpz  15262  abssq  15263  sqabs  15264  absexpd  15412  expcnv  15824  eftabs  16035  efcllem  16037  efaddlem  16053  iblabsr  25819  iblmulc2  25820  abelthlem7  26425  efif1olem3  26530  efif1olem4  26531  logtayllem  26645  bndatandm  26915  ftalem1  27058  mule1  27133  iblmulc2nc  38067