Theorem dec5dvds 17035

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵

Proof of Theorem dec5dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12272	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2nn0 12459	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0mulcli 12480	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
5		dec5dvds.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
6		5cn 12274	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		2cn 12261	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	3	nn0cni 12454	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6, 7, 8	mulassi 11185	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (5 · (2 · 𝐴))
10		5t2e10 12749	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
11	10	oveq1i 7397	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
12	9, 11	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ (5 · (2 · 𝐴)) = (;10 · 𝐴)
13	12	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
14		dfdec10 12652	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
15	13, 14	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ;𝐴𝐵
16		dec5dvds.3	. 2 ⊢ 𝐵 < 5
17	1, 4, 5, 15, 16	ndvdsi 16382	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208  ℕcn 12186  2c2 12241  5c5 12244  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649   ∥ cdvds 16222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223

This theorem is referenced by:  dec5dvds2  17036  43prm  17092  83prm  17093  163prm  17095  631prm  17097  31prm  47598