Theorem dec5dvds 16973

Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dec5dvds.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3	⊢ 𝐵 < 5

Assertion

Ref	Expression
dec5dvds	⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵

Proof of Theorem dec5dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12208	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		2nn0 12395	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		dec5dvds.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0mulcli 12416	. 2 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
5		dec5dvds.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
6		5cn 12210	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
7		2cn 12197	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
8	3	nn0cni 12390	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	6, 7, 8	mulassi 11120	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (5 · (2 · 𝐴))
10		5t2e10 12685	. . . . . 6 ⊢ (5 · 2) = ;10
11	10	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((5 · 2) · 𝐴) = (;10 · 𝐴)
12	9, 11	eqtr3i 2756	. . . 4 ⊢ (5 · (2 · 𝐴)) = (;10 · 𝐴)
13	12	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
14		dfdec10 12588	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
15	13, 14	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ;𝐴𝐵
16		dec5dvds.3	. 2 ⊢ 𝐵 < 5
17	1, 4, 5, 15, 16	ndvdsi 16320	1 ⊢ ¬ 5 ∥ ;𝐴𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   < clt 11143  ℕcn 12122  2c2 12177  5c5 12180  ℕ₀cn0 12378  ;cdc 12585   ∥ cdvds 16160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-dvds 16161

This theorem is referenced by:  dec5dvds2  16974  43prm  17030  83prm  17031  163prm  17033  631prm  17035  31prm  47627