MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec5dvds 16871
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1 𝐴 ∈ ℕ0
dec5dvds.2 𝐵 ∈ ℕ
dec5dvds.3 𝐵 < 5
Assertion
Ref Expression
dec5dvds ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵

Proof of Theorem dec5dvds
StepHypRef Expression
1 5nn 12173 . 2 5 ∈ ℕ
2 2nn0 12364 . . 3 2 ∈ ℕ0
3 dec5dvds.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
42, 3nn0mulcli 12385 . 2 (2 · 𝐴) ∈ ℕ0
5 dec5dvds.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ
6 5cn 12175 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
7 2cn 12162 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
83nn0cni 12359 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
96, 7, 8mulassi 11100 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (5 · (2 · 𝐴))
10 5t2e10 12651 . . . . . 6 (5 · 2) = 10
1110oveq1i 7360 . . . . 5 ((5 · 2) · 𝐴) = (10 · 𝐴)
129, 11eqtr3i 2768 . . . 4 (5 · (2 · 𝐴)) = (10 · 𝐴)
1312oveq1i 7360 . . 3 ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
14 dfdec10 12554 . . 3 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
1513, 14eqtr4i 2769 . 2 ((5 · (2 · 𝐴)) + 𝐵) = 𝐴𝐵
16 dec5dvds.3 . 2 𝐵 < 5
171, 4, 5, 15, 16ndvdsi 16229 1 ¬ 5 ∥ 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   · cmul 10990   < clt 11123  cn 12087  2c2 12142  5c5 12145  0cn0 12347  cdc 12551  cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  dec5dvds2  16872  43prm  16929  83prm  16930  163prm  16932  631prm  16934  31prm  45507
  Copyright terms: Public domain W3C validator