Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhopvsca 40631
Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhopvsca (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
Proof of Theorem dvhopvsca
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpr3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
5 opelxpi 5709 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
63, 4, 5syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
7 dvhfvsca.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 dvhfvsca.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dvhfvsca.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dvhfvsca.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dvhfvsca.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
127, 8, 9, 10, 11dvhvsca 40630 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩)
131, 2, 6, 12syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩)
14 op1stg 8003 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
153, 4, 14syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
1615fveq2d 6896 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)) = (π‘…β€˜πΉ))
17 op2ndg 8004 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝑋)
183, 4, 17syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝑋)
1918coeq2d 5859 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)) = (𝑅 ∘ 𝑋))
2016, 19opeq12d 4877 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩ = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
2113, 20eqtrd 2765 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990   ·𝑠 cvsca 17236  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  TEndoctendo 40281  DVecHcdvh 40607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-dvech 40608
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  40637  dib1dim2  40697  diclspsn  40723  dih1dimatlem  40858
  Copyright terms: Public domain W3C validator