Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhopvsca 39961
Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhopvsca (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
Proof of Theorem dvhopvsca
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpr3 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
5 opelxpi 5712 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
63, 4, 5syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
7 dvhfvsca.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 dvhfvsca.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dvhfvsca.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dvhfvsca.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dvhfvsca.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
127, 8, 9, 10, 11dvhvsca 39960 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩)
131, 2, 6, 12syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩)
14 op1stg 7983 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
153, 4, 14syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
1615fveq2d 6892 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)) = (π‘…β€˜πΉ))
17 op2ndg 7984 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝑋)
183, 4, 17syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝑋)
1918coeq2d 5860 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)) = (𝑅 ∘ 𝑋))
2016, 19opeq12d 4880 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩ = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
2113, 20eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970   ·𝑠 cvsca 17197  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  TEndoctendo 39611  DVecHcdvh 39937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-dvech 39938
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  39967  dib1dim2  40027  diclspsn  40053  dih1dimatlem  40188
  Copyright terms: Public domain W3C validator