Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvsca Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvhopvsca 40486
Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvhfvsca.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvhfvsca.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvhopvsca (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
Proof of Theorem dvhopvsca
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐸)
3 simpr2 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simpr3 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
5 opelxpi 5706 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
63, 4, 5syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))
7 dvhfvsca.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 dvhfvsca.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 dvhfvsca.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dvhfvsca.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 dvhfvsca.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
127, 8, 9, 10, 11dvhvsca 40485 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ ⟨𝐹, π‘‹βŸ© ∈ (𝑇 Γ— 𝐸))) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩)
131, 2, 6, 12syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩)
14 op1stg 7986 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
153, 4, 14syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝐹)
1615fveq2d 6889 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)) = (π‘…β€˜πΉ))
17 op2ndg 7987 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝑋)
183, 4, 17syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©) = 𝑋)
1918coeq2d 5856 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)) = (𝑅 ∘ 𝑋))
2016, 19opeq12d 4876 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ ⟨(π‘…β€˜(1st β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©)), (𝑅 ∘ (2nd β€˜βŸ¨πΉ, π‘‹βŸ©))⟩ = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
2113, 20eqtrd 2766 1 (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑅 Β· ⟨𝐹, π‘‹βŸ©) = ⟨(π‘…β€˜πΉ), (𝑅 ∘ 𝑋)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973   ·𝑠 cvsca 17210  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  DVecHcdvh 40462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-dvech 40463
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  40492  dib1dim2  40552  diclspsn  40578  dih1dimatlem  40713
  Copyright terms: Public domain W3C validator