MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcco2 18080
Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco2.t ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
xpcco2.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐ถ)
xpcco2.y ๐‘Œ = (Baseโ€˜๐ท)
xpcco2.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
xpcco2.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
xpcco2.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‹)
xpcco2.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ)
xpcco2.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹)
xpcco2.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ)
xpcco2.o1 ยท = (compโ€˜๐ถ)
xpcco2.o2 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
xpcco2.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
xpcco2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‹)
xpcco2.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ)
xpcco2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ))
xpcco2.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„))
xpcco2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…))
xpcco2.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
xpcco2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ(โŸจโŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉโŸฉ๐‘‚โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = โŸจ(๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น), (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ)โŸฉ)

Proof of Theorem xpcco2
StepHypRef Expression
1 xpcco2.t . . 3 ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
2 xpcco2.x . . . 4 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐ถ)
3 xpcco2.y . . . 4 ๐‘Œ = (Baseโ€˜๐ท)
41, 2, 3xpcbas 18071 . . 3 (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘‡)
5 eqid 2733 . . 3 (Hom โ€˜๐‘‡) = (Hom โ€˜๐‘‡)
6 xpcco2.o1 . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
7 xpcco2.o2 . . 3 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
8 xpcco2.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
9 xpcco2.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‹)
10 xpcco2.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ)
119, 10opelxpd 5672 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
12 xpcco2.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹)
13 xpcco2.q . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ)
1412, 13opelxpd 5672 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ โˆˆ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
15 xpcco2.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‹)
16 xpcco2.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ)
1715, 16opelxpd 5672 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ โˆˆ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
18 xpcco2.f . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ))
19 xpcco2.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„))
2018, 19opelxpd 5672 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐‘€๐ป๐‘ƒ) ร— (๐‘๐ฝ๐‘„)))
21 xpcco2.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
22 xpcco2.j . . . . 5 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
231, 2, 3, 21, 22, 9, 10, 12, 13, 5xpchom2 18079 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ((๐‘€๐ป๐‘ƒ) ร— (๐‘๐ฝ๐‘„)))
2420, 23eleqtrrd 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ (โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ))
25 xpcco2.k . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…))
26 xpcco2.l . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†))
2725, 26opelxpd 5672 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ ((๐‘ƒ๐ป๐‘…) ร— (๐‘„๐ฝ๐‘†)))
281, 2, 3, 21, 22, 12, 13, 15, 16, 5xpchom2 18079 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ((๐‘ƒ๐ป๐‘…) ร— (๐‘„๐ฝ๐‘†)))
2927, 28eleqtrrd 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ (โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))
301, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 17, 24, 29xpcco 18076 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ(โŸจโŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉโŸฉ๐‘‚โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))โŸฉ)
31 op1stg 7934 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
329, 10, 31syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
33 op1stg 7934 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘ƒ)
3412, 13, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘ƒ)
3532, 34opeq12d 4839 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ = โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ)
36 op1stg 7934 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘…)
3715, 16, 36syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘…)
3835, 37oveq12d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)) = (โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…))
39 op1stg 7934 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…) โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐พ)
4025, 26, 39syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐พ)
41 op1stg 7934 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
4218, 19, 41syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
4338, 40, 42oveq123d 7379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) = (๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น))
44 op2ndg 7935 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
459, 10, 44syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
46 op2ndg 7935 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘„)
4712, 13, 46syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘„)
4845, 47opeq12d 4839 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ = โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ)
49 op2ndg 7935 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘†)
5015, 16, 49syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘†)
5148, 50oveq12d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)) = (โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†))
52 op2ndg 7935 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…) โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐ฟ)
5325, 26, 52syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐ฟ)
54 op2ndg 7935 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
5518, 19, 54syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
5651, 53, 55oveq123d 7379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) = (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ))
5743, 56opeq12d 4839 . 2 (๐œ‘ โ†’ โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))โŸฉ = โŸจ(๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น), (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ)โŸฉ)
5830, 57eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ(โŸจโŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉโŸฉ๐‘‚โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = โŸจ(๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น), (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ)โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4593   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150   ร—c cxpc 18061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-hom 17162  df-cco 17163  df-xpc 18065
This theorem is referenced by:  prfcl  18096  evlfcllem  18115  curf1cl  18122  curf2cl  18125  curfcl  18126  uncfcurf  18133  hofcl  18153
  Copyright terms: Public domain W3C validator