MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcco2 18139
Description: Value of composition in the binary product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcco2.t ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
xpcco2.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐ถ)
xpcco2.y ๐‘Œ = (Baseโ€˜๐ท)
xpcco2.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
xpcco2.j ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
xpcco2.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‹)
xpcco2.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ)
xpcco2.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹)
xpcco2.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ)
xpcco2.o1 ยท = (compโ€˜๐ถ)
xpcco2.o2 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
xpcco2.o ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
xpcco2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‹)
xpcco2.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ)
xpcco2.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ))
xpcco2.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„))
xpcco2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…))
xpcco2.l (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
xpcco2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ(โŸจโŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉโŸฉ๐‘‚โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = โŸจ(๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น), (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ)โŸฉ)

Proof of Theorem xpcco2
StepHypRef Expression
1 xpcco2.t . . 3 ๐‘‡ = (๐ถ ร—c ๐ท)
2 xpcco2.x . . . 4 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐ถ)
3 xpcco2.y . . . 4 ๐‘Œ = (Baseโ€˜๐ท)
41, 2, 3xpcbas 18130 . . 3 (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘‡)
5 eqid 2733 . . 3 (Hom โ€˜๐‘‡) = (Hom โ€˜๐‘‡)
6 xpcco2.o1 . . 3 ยท = (compโ€˜๐ถ)
7 xpcco2.o2 . . 3 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
8 xpcco2.o . . 3 ๐‘‚ = (compโ€˜๐‘‡)
9 xpcco2.m . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘‹)
10 xpcco2.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ)
119, 10opelxpd 5716 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
12 xpcco2.p . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹)
13 xpcco2.q . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ)
1412, 13opelxpd 5716 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ โˆˆ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
15 xpcco2.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‹)
16 xpcco2.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ)
1715, 16opelxpd 5716 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ โˆˆ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
18 xpcco2.f . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ))
19 xpcco2.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„))
2018, 19opelxpd 5716 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ ((๐‘€๐ป๐‘ƒ) ร— (๐‘๐ฝ๐‘„)))
21 xpcco2.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
22 xpcco2.j . . . . 5 ๐ฝ = (Hom โ€˜๐ท)
231, 2, 3, 21, 22, 9, 10, 12, 13, 5xpchom2 18138 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ((๐‘€๐ป๐‘ƒ) ร— (๐‘๐ฝ๐‘„)))
2420, 23eleqtrrd 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐น, ๐บโŸฉ โˆˆ (โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ))
25 xpcco2.k . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…))
26 xpcco2.l . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†))
2725, 26opelxpd 5716 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ ((๐‘ƒ๐ป๐‘…) ร— (๐‘„๐ฝ๐‘†)))
281, 2, 3, 21, 22, 12, 13, 15, 16, 5xpchom2 18138 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ((๐‘ƒ๐ป๐‘…) ร— (๐‘„๐ฝ๐‘†)))
2927, 28eleqtrrd 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ โˆˆ (โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ(Hom โ€˜๐‘‡)โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))
301, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 17, 24, 29xpcco 18135 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ(โŸจโŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉโŸฉ๐‘‚โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))โŸฉ)
31 op1stg 7987 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
329, 10, 31syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
33 op1stg 7987 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘ƒ)
3412, 13, 33syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘ƒ)
3532, 34opeq12d 4882 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ = โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ)
36 op1stg 7987 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘…)
3715, 16, 36syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘…)
3835, 37oveq12d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)) = (โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…))
39 op1stg 7987 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…) โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐พ)
4025, 26, 39syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐พ)
41 op1stg 7987 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
4218, 19, 41syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐น)
4338, 40, 42oveq123d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) = (๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น))
44 op2ndg 7988 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
459, 10, 44syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
46 op2ndg 7988 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘„)
4712, 13, 46syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ) = ๐‘„)
4845, 47opeq12d 4882 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ = โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ)
49 op2ndg 7988 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘† โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘†)
5015, 16, 49syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ) = ๐‘†)
5148, 50oveq12d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)) = (โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†))
52 op2ndg 7988 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (๐‘ƒ๐ป๐‘…) โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐‘„๐ฝ๐‘†)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐ฟ)
5325, 26, 52syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ) = ๐ฟ)
54 op2ndg 7988 . . . . 5 ((๐น โˆˆ (๐‘€๐ป๐‘ƒ) โˆง ๐บ โˆˆ (๐‘๐ฝ๐‘„)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
5518, 19, 54syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = ๐บ)
5651, 53, 55oveq123d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)) = (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ))
5743, 56opeq12d 4882 . 2 (๐œ‘ โ†’ โŸจ((1st โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (1st โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ ยท (1st โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(1st โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ)), ((2nd โ€˜โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ)(โŸจ(2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ), (2nd โ€˜โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉ)โŸฉ โˆ™ (2nd โ€˜โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ))(2nd โ€˜โŸจ๐น, ๐บโŸฉ))โŸฉ = โŸจ(๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น), (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ)โŸฉ)
5830, 57eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ๐พ, ๐ฟโŸฉ(โŸจโŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘ƒ, ๐‘„โŸฉโŸฉ๐‘‚โŸจ๐‘…, ๐‘†โŸฉ)โŸจ๐น, ๐บโŸฉ) = โŸจ(๐พ(โŸจ๐‘€, ๐‘ƒโŸฉ ยท ๐‘…)๐น), (๐ฟ(โŸจ๐‘, ๐‘„โŸฉ โˆ™ ๐‘†)๐บ)โŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4635   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209   ร—c cxpc 18120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-hom 17221  df-cco 17222  df-xpc 18124
This theorem is referenced by:  prfcl  18155  evlfcllem  18174  curf1cl  18181  curf2cl  18184  curfcl  18185  uncfcurf  18192  hofcl  18212
  Copyright terms: Public domain W3C validator