Theorem mxidlnzrb 33560

Description: A ring is nonzero if and only if it has maximal ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mxidlnzrb	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Distinct variable group:   𝑅,𝑚

Proof of Theorem mxidlnzrb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		krull 33559	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
3		19.42v 1955	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	mxidlnzr 33547	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
6	5	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
7	3, 6	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
8	2, 7	impbida 801	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ (MaxIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  Ringcrg 20203  NzRingcnzr 20478  MaxIdealcmxidl 33539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-ac2 10374  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-rpss 7668  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-ac 10027  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-hash 14282  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-nzr 20479  df-subrg 20536  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-sra 21158  df-rgmod 21159  df-lidl 21196  df-mxidl 33540

This theorem is referenced by: (None)