Theorem ply1divalg2 26178

Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 26177 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘(oppr‘𝑅)) = (Poly1‘(oppr‘𝑅))
2		ply1divalg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	opprbas 20341	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	4, 8	oppradd 20343	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
10	9	oveqi 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr‘𝑅))𝑟)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr‘𝑅))𝑟))
12	3, 7, 11	deg1propd 26125	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (deg1‘𝑅) = (deg1‘(oppr‘𝑅)))
13	12	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘(oppr‘𝑅))
14	2, 13	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(oppr‘𝑅))
15		ply1divalg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		ply1divalg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
17	16	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
18	3, 7, 11	ply1baspropd 22244	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
19	18	mptru 1547	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
20	17, 19	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
21	15, 20	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
22		ply1divalg.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
23	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
24	16	fveq2i 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
25	3, 7, 11	ply1plusgpropd 22245	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
26	25	mptru 1547	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
27	24, 26	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
29	23, 28	grpsubpropd 19063	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-g‘𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
30	29	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
31	22, 30	eqtri 2765	. . 3 ⊢ − = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
32		ply1divalg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
33	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
35	27	oveqi 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑟)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑟))
37	33, 34, 36	grpidpropd 18675	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
38	37	mptru 1547	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
39	32, 38	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
40		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
41		ply1divalg.r1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
42	4	opprring 20347	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
44		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
45		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
46		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
47		ply1divalg.g3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
48		ply1divalg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
49	48, 4	opprunit 20377	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘(oppr‘𝑅))
50	1, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49	ply1divalg 26177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
51	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
52	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
53		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
54		ply1divalg.t	. . . . . . . . 9 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
55	16, 4, 1, 54, 40, 15	ply1opprmul 22240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞) = (𝑞 ∙ 𝐺))
56	51, 52, 53, 55	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞) = (𝑞 ∙ 𝐺))
57	56	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))
58	57	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺)) = (𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞)))
59	58	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))))
60	59	breq1d 5153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
61	60	reubidva 3396	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
62	50, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  -_gcsg 18953  Ringcrg 20230  opp_rcoppr 20333  Unitcui 20355  Poly₁cpl1 22178  coe₁cco1 22179  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095

This theorem is referenced by:  q1peqb  26195  ply1divalg3  35647