Theorem ply1divalg2 26265

Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 26264 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Poly1‘(oppr‘𝑅)) = (Poly1‘(oppr‘𝑅))
2		ply1divalg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		eqidd 2770	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	opprbas 20425	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
8		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	4, 8	oppradd 20426	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
10	9	oveqi 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr‘𝑅))𝑟)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr‘𝑅))𝑟))
12	3, 7, 11	deg1propd 26212	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (deg1‘𝑅) = (deg1‘(oppr‘𝑅)))
13	12	mptru 1574	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘(oppr‘𝑅))
14	2, 13	eqtri 2792	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(oppr‘𝑅))
15		ply1divalg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		ply1divalg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
17	16	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
18	3, 7, 11	ply1baspropd 22371	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
19	18	mptru 1574	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
20	17, 19	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
21	15, 20	eqtri 2792	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
22		ply1divalg.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
23	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
24	16	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
25	3, 7, 11	ply1plusgpropd 22372	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
26	25	mptru 1574	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
27	24, 26	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
29	23, 28	grpsubpropd 19111	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-g‘𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
30	29	mptru 1574	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
31	22, 30	eqtri 2792	. . 3 ⊢ − = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
32		ply1divalg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
33	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
35	27	oveqi 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑟)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑟))
37	33, 34, 36	grpidpropd 18720	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
38	37	mptru 1574	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
39	32, 38	eqtri 2792	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
40		eqid 2769	. . 3 ⊢ (.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
41		ply1divalg.r1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
42	4	opprring 20429	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
43	41, 42	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
44		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
45		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
46		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
47		ply1divalg.g3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
48		ply1divalg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
49	48, 4	opprunit 20459	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘(oppr‘𝑅))
50	1, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49	ply1divalg 26264	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
51	41	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
52	45	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
53		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
54		ply1divalg.t	. . . . . . . . 9 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
55	16, 4, 1, 54, 40, 15	ply1opprmul 22367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞) = (𝑞 ∙ 𝐺))
56	51, 52, 53, 55	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞) = (𝑞 ∙ 𝐺))
57	56	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))
58	57	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺)) = (𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞)))
59	58	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))))
60	59	breq1d 5121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
61	60	reubidva 3389	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
62	50, 61	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃!wreu 3373   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   < clt 11243  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  -_gcsg 19002  Ringcrg 20315  opp_rcoppr 20418  Unitcui 20437  Poly₁cpl1 22306  coe₁cco1 22307  deg₁cdg1 26180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rlreg 20779  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-cnfld 21492  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-mdeg 26181  df-deg1 26182

This theorem is referenced by:  q1peqb  26282  ply1divalg3  36067