MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg2 26048
Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 26047 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
ply1divalg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
ply1divalg.r1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
ply1divalg.g1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
ply1divalg.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
ply1divalg.g3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ π‘ˆ)
ply1divalg.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg2 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž βˆ™ 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘ž   𝐡,π‘ž   𝐷,π‘ž   𝐹,π‘ž   𝐺,π‘ž   βˆ’ ,π‘ž   𝑃,π‘ž   𝑅,π‘ž   βˆ™ ,π‘ž   0 ,π‘ž
Allowed substitution hint:   π‘ˆ(π‘ž)

Proof of Theorem ply1divalg2
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . 3 (Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)) = (Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))
2 ply1divalg.d . . . 4 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
3 eqidd 2728 . . . . . 6 (⊀ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
4 eqid 2727 . . . . . . . 8 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
5 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
64, 5opprbas 20262 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
76a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
8 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
94, 8oppradd 20264 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(opprβ€˜π‘…))
109oveqi 7427 . . . . . . 7 (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Ÿ)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘…)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘Ÿ))
123, 7, 11deg1propd 25996 . . . . 5 (⊀ β†’ ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜(opprβ€˜π‘…)))
1312mptru 1541 . . . 4 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜(opprβ€˜π‘…))
142, 13eqtri 2755 . . 3 𝐷 = ( deg1 β€˜(opprβ€˜π‘…))
15 ply1divalg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
16 ply1divalg.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
1716fveq2i 6894 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
183, 7, 11ply1baspropd 22135 . . . . . 6 (⊀ β†’ (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
1918mptru 1541 . . . . 5 (Baseβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
2017, 19eqtri 2755 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
2115, 20eqtri 2755 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
22 ply1divalg.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
2320a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
2416fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(Poly1β€˜π‘…))
253, 7, 11ply1plusgpropd 22136 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (+gβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (+gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
2625mptru 1541 . . . . . . . 8 (+gβ€˜(Poly1β€˜π‘…)) = (+gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
2724, 26eqtri 2755 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
2923, 28grpsubpropd 18985 . . . . 5 (⊀ β†’ (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
3029mptru 1541 . . . 4 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
3122, 30eqtri 2755 . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
32 ply1divalg.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
3315a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
3421a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
3527oveqi 7427 . . . . . . 7 (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘Ÿ)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ž(+gβ€˜π‘ƒ)π‘Ÿ) = (π‘ž(+gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘Ÿ))
3733, 34, 36grpidpropd 18607 . . . . 5 (⊀ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))))
3837mptru 1541 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
3932, 38eqtri 2755 . . 3 0 = (0gβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
40 eqid 2727 . . 3 (.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…))) = (.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))
41 ply1divalg.r1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
424opprring 20268 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
4341, 42syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
44 ply1divalg.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
45 ply1divalg.g1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
46 ply1divalg.g2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
47 ply1divalg.g3 . . 3 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ π‘ˆ)
48 ply1divalg.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
4948, 4opprunit 20298 . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜(opprβ€˜π‘…))
501, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49ply1divalg 26047 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž))) < (π·β€˜πΊ))
5141adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5245adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
53 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
54 ply1divalg.t . . . . . . . . 9 βˆ™ = (.rβ€˜π‘ƒ)
5516, 4, 1, 54, 40, 15ply1opprmul 22131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡 ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž) = (π‘ž βˆ™ 𝐺))
5651, 52, 53, 55syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž) = (π‘ž βˆ™ 𝐺))
5756eqcomd 2733 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (π‘ž βˆ™ 𝐺) = (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž))
5857oveq2d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ’ (π‘ž βˆ™ 𝐺)) = (𝐹 βˆ’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž)))
5958fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž βˆ™ 𝐺))) = (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž))))
6059breq1d 5152 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝐡) β†’ ((π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž βˆ™ 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž))) < (π·β€˜πΊ)))
6160reubidva 3387 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž βˆ™ 𝐺))) < (π·β€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (𝐺(.rβ€˜(Poly1β€˜(opprβ€˜π‘…)))π‘ž))) < (π·β€˜πΊ)))
6250, 61mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘ž ∈ 𝐡 (π·β€˜(𝐹 βˆ’ (π‘ž βˆ™ 𝐺))) < (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒ!wreu 3369   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   < clt 11264  Basecbs 17165  +gcplusg 17218  .rcmulr 17219  0gc0g 17406  -gcsg 18877  Ringcrg 20157  opprcoppr 20254  Unitcui 20276  Poly1cpl1 22070  coe1cco1 22071   deg1 cdg1 25961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-rlreg 21212  df-cnfld 21260  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076  df-mdeg 25962  df-deg1 25963
This theorem is referenced by:  q1peqb  26065
  Copyright terms: Public domain W3C validator