MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg2 24415
Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 24414 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divalg.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   0 ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . 3 (Poly1‘(oppr𝑅)) = (Poly1‘(oppr𝑅))
2 ply1divalg.d . . . 4 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 eqidd 2796 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqid 2795 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
5 eqid 2795 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
64, 5opprbas 19069 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅)))
8 eqid 2795 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
94, 8oppradd 19070 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑅))
109oveqi 7029 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟))
123, 7, 11deg1propd 24363 . . . . 5 (⊤ → ( deg1𝑅) = ( deg1 ‘(oppr𝑅)))
1312mptru 1529 . . . 4 ( deg1𝑅) = ( deg1 ‘(oppr𝑅))
142, 13eqtri 2819 . . 3 𝐷 = ( deg1 ‘(oppr𝑅))
15 ply1divalg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
16 ply1divalg.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
1716fveq2i 6541 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1𝑅))
183, 7, 11ply1baspropd 20094 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
1918mptru 1529 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2017, 19eqtri 2819 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2115, 20eqtri 2819 . . 3 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
22 ply1divalg.m . . . 4 = (-g𝑃)
2320a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2416fveq2i 6541 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1𝑅))
253, 7, 11ply1plusgpropd 20095 . . . . . . . . 9 (⊤ → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2625mptru 1529 . . . . . . . 8 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2724, 26eqtri 2819 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2923, 28grpsubpropd 17961 . . . . 5 (⊤ → (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3029mptru 1529 . . . 4 (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3122, 30eqtri 2819 . . 3 = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
32 ply1divalg.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
3315a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3421a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3527oveqi 7029 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟))
3733, 34, 36grpidpropd 17700 . . . . 5 (⊤ → (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3837mptru 1529 . . . 4 (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3932, 38eqtri 2819 . . 3 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
40 eqid 2795 . . 3 (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
41 ply1divalg.r1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
424opprring 19071 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ Ring)
44 ply1divalg.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
45 ply1divalg.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
46 ply1divalg.g2 . . 3 (𝜑𝐺0 )
47 ply1divalg.g3 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
48 ply1divalg.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4948, 4opprunit 19101 . . 3 𝑈 = (Unit‘(oppr𝑅))
501, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49ply1divalg 24414 . 2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺))
5141adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
5245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
53 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
54 ply1divalg.t . . . . . . . . 9 = (.r𝑃)
5516, 4, 1, 54, 40, 15ply1opprmul 20090 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5651, 52, 53, 55syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5756eqcomd 2801 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝑞 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))
5857oveq2d 7032 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹 (𝑞 𝐺)) = (𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞)))
5958fveq2d 6542 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))))
6059breq1d 4972 . . 3 ((𝜑𝑞𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6160reubidva 3347 . 2 (𝜑 → (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6250, 61mpbird 258 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wtru 1523  wcel 2081  wne 2984  ∃!wreu 3107   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016   < clt 10521  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  .rcmulr 16395  0gc0g 16542  -gcsg 17863  Ringcrg 18987  opprcoppr 19062  Unitcui 19079  Poly1cpl1 20028  coe1cco1 20029   deg1 cdg1 24331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-rlreg 19745  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-psr1 20031  df-vr1 20032  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-cnfld 20228  df-mdeg 24332  df-deg1 24333
This theorem is referenced by:  q1peqb  24431
  Copyright terms: Public domain W3C validator