Theorem ply1divalg2 26117

Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 26116 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘(oppr‘𝑅)) = (Poly1‘(oppr‘𝑅))
2		ply1divalg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	4, 5	opprbas 20296	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
9	4, 8	oppradd 20297	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
10	9	oveqi 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr‘𝑅))𝑟)
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g‘𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr‘𝑅))𝑟))
12	3, 7, 11	deg1propd 26064	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (deg1‘𝑅) = (deg1‘(oppr‘𝑅)))
13	12	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘(oppr‘𝑅))
14	2, 13	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘(oppr‘𝑅))
15		ply1divalg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
16		ply1divalg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
17	16	fveq2i 6847	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
18	3, 7, 11	ply1baspropd 22200	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
19	18	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
20	17, 19	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
21	15, 20	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
22		ply1divalg.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑃)
23	20	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
24	16	fveq2i 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
25	3, 7, 11	ply1plusgpropd 22201	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
26	25	mptru 1549	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
27	24, 26	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
29	23, 28	grpsubpropd 18992	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (-g‘𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
30	29	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
31	22, 30	eqtri 2760	. . 3 ⊢ − = (-g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
32		ply1divalg.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
33	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
34	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
35	27	oveqi 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑟)
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑟))
37	33, 34, 36	grpidpropd 18601	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))))
38	37	mptru 1549	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
39	32, 38	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
40		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))
41		ply1divalg.r1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
42	4	opprring 20300	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
43	41, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
44		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
45		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
46		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
47		ply1divalg.g3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
48		ply1divalg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
49	48, 4	opprunit 20330	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘(oppr‘𝑅))
50	1, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49	ply1divalg 26116	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
51	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
52	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
53		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
54		ply1divalg.t	. . . . . . . . 9 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
55	16, 4, 1, 54, 40, 15	ply1opprmul 22196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞) = (𝑞 ∙ 𝐺))
56	51, 52, 53, 55	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞) = (𝑞 ∙ 𝐺))
57	56	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))
58	57	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺)) = (𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞)))
59	58	fveq2d 6848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))))
60	59	breq1d 5110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
61	60	reubidva 3366	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr‘𝑅)))𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
62	50, 61	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3350   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   < clt 11180  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192  0_gc0g 17373  -_gcsg 18882  Ringcrg 20185  opp_rcoppr 20289  Unitcui 20308  Poly₁cpl1 22134  coe₁cco1 22135  deg₁cdg1 26032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-rlreg 20644  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-cnfld 21327  df-psr 21882  df-mvr 21883  df-mpl 21884  df-opsr 21886  df-psr1 22137  df-vr1 22138  df-ply1 22139  df-coe1 22140  df-mdeg 26033  df-deg1 26034

This theorem is referenced by:  q1peqb  26134  ply1divalg3  35864