MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg2 26178
Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 26177 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = (deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divalg.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   0 ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg2
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Poly1‘(oppr𝑅)) = (Poly1‘(oppr𝑅))
2 ply1divalg.d . . . 4 𝐷 = (deg1𝑅)
3 eqidd 2738 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
5 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
64, 5opprbas 20341 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅))
76a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr𝑅)))
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
94, 8oppradd 20343 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g‘(oppr𝑅))
109oveqi 7444 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟)
1110a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑞(+g𝑅)𝑟) = (𝑞(+g‘(oppr𝑅))𝑟))
123, 7, 11deg1propd 26125 . . . . 5 (⊤ → (deg1𝑅) = (deg1‘(oppr𝑅)))
1312mptru 1547 . . . 4 (deg1𝑅) = (deg1‘(oppr𝑅))
142, 13eqtri 2765 . . 3 𝐷 = (deg1‘(oppr𝑅))
15 ply1divalg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
16 ply1divalg.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
1716fveq2i 6909 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1𝑅))
183, 7, 11ply1baspropd 22244 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
1918mptru 1547 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2017, 19eqtri 2765 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2115, 20eqtri 2765 . . 3 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
22 ply1divalg.m . . . 4 = (-g𝑃)
2320a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2416fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1𝑅))
253, 7, 11ply1plusgpropd 22245 . . . . . . . . 9 (⊤ → (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2625mptru 1547 . . . . . . . 8 (+g‘(Poly1𝑅)) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2724, 26eqtri 2765 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
2827a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (+g𝑃) = (+g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
2923, 28grpsubpropd 19063 . . . . 5 (⊤ → (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3029mptru 1547 . . . 4 (-g𝑃) = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3122, 30eqtri 2765 . . 3 = (-g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
32 ply1divalg.z . . . 4 0 = (0g𝑃)
3315a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3421a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐵 = (Base‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3527oveqi 7444 . . . . . . 7 (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟)
3635a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞(+g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑟))
3733, 34, 36grpidpropd 18675 . . . . 5 (⊤ → (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅))))
3837mptru 1547 . . . 4 (0g𝑃) = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
3932, 38eqtri 2765 . . 3 0 = (0g‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
40 eqid 2737 . . 3 (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅))) = (.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))
41 ply1divalg.r1 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
424opprring 20347 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (oppr𝑅) ∈ Ring)
4341, 42syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppr𝑅) ∈ Ring)
44 ply1divalg.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
45 ply1divalg.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
46 ply1divalg.g2 . . 3 (𝜑𝐺0 )
47 ply1divalg.g3 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
48 ply1divalg.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4948, 4opprunit 20377 . . 3 𝑈 = (Unit‘(oppr𝑅))
501, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49ply1divalg 26177 . 2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺))
5141adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
5245adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
53 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
54 ply1divalg.t . . . . . . . . 9 = (.r𝑃)
5516, 4, 1, 54, 40, 15ply1opprmul 22240 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5651, 52, 53, 55syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞) = (𝑞 𝐺))
5756eqcomd 2743 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝑞 𝐺) = (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))
5857oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹 (𝑞 𝐺)) = (𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞)))
5958fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))))
6059breq1d 5153 . . 3 ((𝜑𝑞𝐵) → ((𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6160reubidva 3396 . 2 (𝜑 → (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺(.r‘(Poly1‘(oppr𝑅)))𝑞))) < (𝐷𝐺)))
6250, 61mpbird 257 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  -gcsg 18953  Ringcrg 20230  opprcoppr 20333  Unitcui 20355  Poly1cpl1 22178  coe1cco1 22179  deg1cdg1 26093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095
This theorem is referenced by:  q1peqb  26195  ply1divalg3  35647
  Copyright terms: Public domain W3C validator